引言
眾所周知，自然界中普遍存在的介質為雙正材料，這種材料的磁導率和介電常數均大于零，即其折射率為正實數，而且電磁波在這種介質中傳播時，電場分量和磁場分量滿足右手定則，所以也稱右手材料。
1968 年，蘇聯科學家維克托·韋謝拉戈\\( Victor Veselago\\) 首次提出負折射率介質，于是人們開始關注這種不同于雙正介質的特殊材料，并紛紛進行相關的實驗。負折射介質分為雙負材料和單負材料。顧名思義，雙負介質的介電常數和磁導率均為負，即介質的折射率為負，而且電磁波在這種介質中傳播時，電場分量和磁場分量不再滿足右手定則，而是遵從左手定則，故亦稱左手材料。單負介質分為磁單負材料和電單負材料，磁單負材料磁導率小于零、介電常數大于零，電單負材料則相反，為介電常數小于零、磁導率大于零。大量的研究或實驗表明，電磁波在負折射率介質中傳播時，表現出不同于普通材料\\( 雙正材料\\) 的特殊物理光學、電磁等特性，也正因為其表現出的這種新奇電磁特性，所以長期成為物理學者們研究的主要熱門領域之一。
根據光學、電磁和薄膜介質有關理論，由不同介電常數介質周期性排列形成的組合體，對入射到其中的光具有選擇性通過的剪裁功能，即存在能帶禁帶和導帶，處于導帶頻率的光可以允許通過，而處于禁帶頻率的光則被禁止通過，這種不同介電常數周期性排列形成的組合體稱為光子晶體。1987 年，光子晶體概念由 Yablonovitch 和 John 提出后，人們對雙正介質結構的光子晶體進行了大量的研究，且取得了系列成熟的成果和結論，并且呈現出巨大的潛在應用前景，所以近 30 年來，光子晶體一直是光學和材料領域的研究焦點之一。近幾年來，負折射材料光子晶體成為光子晶體研究的又一個熱潮?；谪撜凵浣橘|的特殊光學、電磁特性，其構成的光子晶體的光傳輸特性也肯定異于雙正介質光子晶體。因此，本文在構造相同光子晶體結構模型的基礎上，分別研究雙正、雙負和單負材料光子晶體的能帶特征，以及各類參數分別對雙正、雙負和單負材料光子晶體能帶的影響規律等，力求找出不同折射率材料光子晶體的能帶結構特點，為光子晶體的學習者提供指導，并為研究者提供模型和材料選擇參考。
1 研究模型和方法
確定鏡像對稱結構雙正、雙負和單負介質一維光子晶體的研究模型為\\( AB\\)n\\( BA\\)n。對于雙正、雙負介質，A、B 介質層的參數取:折射率 nA= 2. 6，折射率 nB= ± 1. 45\\( 雙負介質時取負號\\) ，光學厚度DA= nAdA= 0. 25λ0，DB= nBdB= ± 0. 25λ0\\( 雙負介質時取負號\\) ，其中 λ0是指光子晶體禁帶中心頻率 ω0所對應的波長。對于單負介質，A 和 B 分別表示負磁導率材料和負介電常量材料，采用傳輸線模型來描述各向同性單負材料，則負磁導率材料 A、B 的介電常量和磁導率分別為: εA= 3，μA= 1，εB= 1 － ω2ep/ ω2，μB= 3，其中 ω 為頻率，單位為 GHz，ωep為電等離子體頻率，大小為 100 GHz，A、B 層介質的厚度為 dA= 12 mm 和 dB= 6 mm。
利用傳輸矩陣法理論［6，14 －16］，通過 Matlab 編程，橫坐標的頻率用歸一化單位 ω/ω0，分別計算模擬含雙正介質、雙負介質和單負介質光子晶體\\( AB\\)n\\( BA\\)n的透射能帶譜，以及隨入射角和周期數而變化的透射能帶譜。
2 對稱結構一維光子晶體的能帶研究
2. 1 雙正、雙負和單負介質一維光子晶體的透射譜
對于鏡像對稱結構的光子晶體\\( AB\\)n\\( BA\\)n，在雙正介質、含雙負介質和含單負介質情況下，保持以上各參數不變，固定周期數 n =3，考慮光垂直入射于介質表面\\( 即入射角 θ =00\\) ，利用傳輸矩陣法理論通過 Matlab 編程，計算模擬出光子晶體\\( AB\\)3\\( BA\\)3的透射譜如圖 1 所示。
從圖 1 中可以看到: 當 B 為雙正介質時，光子晶體能帶譜中周期性交替出現光子禁帶\\( 為光子晶體主禁帶\\) ，其寬度為 0. 331ω/ω0，且禁帶中心出現一條窄透射帶，如圖 1\\( a\\) 所示; 當 B 為雙負介質時，主禁帶寬度為 1. 190ω/ω0，如圖 1\\( b\\) 所示; 當 B 為單負介質時，主禁帶寬度變為 2. 925ω/ω0，如圖 1\\( c\\) 所示?！緢D1】
通過對比發現雙正介質光子晶體的主禁帶寬度最窄，單負介質光子晶體主禁帶寬度最寬，雙負介質光子晶體介于以上兩種情況之間; B 為雙正和雙負介質時，主禁帶的中心均出現一條帶寬較窄的透射帶; B 為雙正或者雙負介質時，除了光子禁帶成對稱分布外，主禁帶中的透射帶也成對稱分布，而當 B 為單負介質時，禁帶中的透射帶對稱性已經明顯受到破壞，即透射帶已經偏離主禁帶中心位置。
2. 2 周期數 n 對透射譜的影響
保持其他參數不變，使光子晶體\\( AB\\)n\\( BA\\)n的周期數分別取 n =3、4、5、6，同樣使光垂直于介質表面入射，通過 Matlab 軟件編程計算模擬得出光子晶體\\( AB\\)n\\( BA\\)n分別為雙正、含雙負和含單負介質時的透射譜，如圖 2 所示。
從圖 2 可知，無論 B 是雙正、雙負還是單負介質，隨周期數的增加，它們的禁帶寬度都沒有明顯的變化，這表明光子晶體\\( AB\\)n\\( BA\\)n禁帶寬度沒有完全依賴于周期數的變化。當周期數從 n =3 ～6 變化時，雙正介質光子晶體禁帶中心頻率處的透射峰帶寬從 0. 012ω/ω0減小到 0. 001 32ω/ω0，如圖 2\\( a\\) 所示; 對雙負介質光子晶體，在其主禁帶中心頻率處的透射峰帶寬從 0. 042ω/ω0減小到 0. 004ω/ω0，如圖 2\\( b\\) 所示; 對單負介質，禁帶中透射峰帶寬也從0. 200 7ω/ω0減小到0. 000 27ω/ω0，如圖2\\( c\\) 所示。對比圖2\\( a\\) 、\\( b\\) 、\\( c\\) 可知，在相同的條件下，光子晶體禁帶中的透射峰帶寬均逐漸變小并趨于尖銳，且以單負介質的光子晶體透射峰帶寬減小的速度為最快，帶寬減小約為原來的 740 倍。不論是雙正、雙負還是單負光子晶體，禁帶中的透射峰位置都沒有發生移動，且透射率維持在 100%。因此，可提高單負介質光子晶體的周期數，得到較為精細的透射峰帶寬，從而可制造出高品質的濾波器?！緢D2】
2. 3 B 層介質厚度 dB對透射譜的影響
固定周期數為 n =3，在其他參數不變的情況下，使光垂直于介質表面入射，取光子晶體\\( AB\\)3\\( BA\\)3中B 層介質厚度分別為 1. 05dB、1. 10dB、1. 15dB、1. 20dB。然后通過計算繪制得出介質厚度 dB分別對透射譜的影響如圖 3 所示。
從圖 3 中可知: 無論是雙正、雙負還是單負介質，隨著介質厚度 dB的增加，它們的禁帶寬度都沒有明顯的變化，透射峰帶寬也沒有明顯的變化，且透射率都維持在 100%不變，但 B 層為單負介質時，禁帶邊緣變得較為陡峭，這表明光子晶體\\( AB\\)3\\( BA\\)3禁帶寬度沒有完全依賴于介質厚度 dB的變化。另外，對雙正介質和雙負介質光子晶體，禁帶中心頻率處的透射峰分別向低頻方向移動了 0. 014ω/ω0和0. 033ω/ω0; 而對單負介質光子晶體，禁帶中透射峰向低頻方向移動了 0. 137ω/ω0，即相對前兩者移動速度最快。這表明介質厚度dB對單負介質光子晶體的調制效果要優于對雙正和雙負光子晶體的調制效果?！緢D3】
2. 4 入射角對透射譜的影響
固定周期為 n =3，保持上述的各參數不變，當入射角分別為 10°、20°、30°、40°時，經模擬計算一維光子晶體\\( AB\\)3\\( BA\\)3在雙正介質、含雙負介質和含單負介質情況下的透射譜，如圖 4 所示?！緢D4】
從圖 4 中可知: 隨著入射角的增大，無論是雙正、雙負還是單負介質，它們的禁帶寬度都沒有明顯的變化，這表明光子晶體\\( AB\\)3\\( BA\\)3禁帶寬度沒有完全依賴于入射角的變化。當入射角從 θ =10° ～40°的變化時，雙正、雙負和單負介質光子晶體禁帶中的透射峰都向高頻方向移動，雙正介質光子晶體，透射峰中心從1. 0ω / ω0頻率處移動到1. 084ω/ω0頻率處，共移動了0. 084ω/ω0; 雙負光子晶體透射峰中心從3. 0ω/ω0頻率處移動到 3. 249ω/ω0頻率處，共移動了 0. 249ω/ω0; 單負光子晶體，透射峰中心從 5. 858ω/ω0頻率處移動到6. 118ω / ω0頻率處，共移動了 0. 260ω/ω0?？梢?，入射角變化相同時，單負介質光子晶體透射峰向高頻方向移動速度較快，即入射角對單負介質光子晶體能帶譜的影響要大于對雙正和雙負介質光子晶體。
3 結論
利用傳輸矩陣法理論，通過 Matlab 編程，模擬繪制出鏡像對稱結構雙正、雙負和單負介質光子晶體\\( AB\\)n\\( BA\\)n的能帶結構，經過對比研究，得出如下結論:
\\( 1\\) 由不同介質材料構成的對稱結構光子晶體，其能帶譜存在很大的差異，其中以單負介質光子晶體禁帶寬度最寬，雙負介質光子晶體次之，雙正介質光子晶體的禁帶寬度為最窄。
\\( 2\\) 禁帶中都出現缺陷模，雙正光子晶體透射峰出現在禁帶中心，雙負介質光子晶體透射峰出現在整數倍 ω/ω0頻率處; 而單負介質光子晶體，透射峰并非出現在禁帶中心。
\\( 3\\) 當周期數變大時，光子晶體禁帶中的透射峰帶寬均逐漸變小并趨于尖銳，且以單負介質的光子晶體透射峰帶寬減小的速度為最快。
\\( 4\\) 當介質厚度 dB增大時，對單負介質光子晶體的調制效果要優于對雙正和雙負光子晶體的調制效果。\\( 5\\) 當入射角增大時，對單負介質光子晶體能帶譜的影響要大于對雙正和單負介質光子晶體。
不同介質材料構成的對稱結構光子晶體的這些光傳輸特性，可為鏡像對稱結構光子晶體的設計以及窄帶或是寬帶光子晶體光學濾波器件等提供理論指導。
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