0、引言

同時重建混合氣體的溫度場、各組分濃度分布及流場對于系統監測、改善系統效率、減少污染排放具有重要意義．現有的混合氣體的溫度測量方法，主要有熱電偶法、等離子體法、光纖法、紅外測溫及微波吸收法等;氣體濃度檢測方法，主要包括光譜法，質譜法，氣相色譜法等．然而，目前多數方法的測量對象都是單一的，沒有對空間中混合氣體的溫度場、濃度場及流場同時重建．聲學法以其非侵入、可獲得全場信息、可實現在線監測等優點，而被認為是一種發展前景廣闊的測量方法，本文采用聲學法進行多種物理場同時重建．在混合氣體的溫度和各組分濃度未知的情況下，通過一個聲學參數無法同時得到這兩個未知信息，故選取了同混合氣體溫度、濃度密切相關的兩個參數，聲速和聲吸收進行研究．聲速同混合氣體溫度、濃度的關系為

式中，c為聲速，Ｒ為普適氣體常數，T為氣體溫度，gmix為混合氣體的比熱容比，Mmix為混合氣體的平均分子質量，其中gmix值和Mmix值與氣體的種類和濃度有關．聲吸收同溫度、濃度的關系則更加復雜．基于Dain和Lueptow提出的DL弛豫吸收理論及朱明等人對該理論的改進，本文討論聲波弛豫吸收同混合氣體濃度、溫度的關系．選取一氧化碳、氮氣和氧氣組成的混合氣體，分別建立聲速和聲吸收同混合氣體溫度及濃度關系的三維模型，結合聲學CT\\(computedtomography\\)理論，對混合氣體的多物理場進行重建，同時對誤差原因及最佳聲波頻段進行討論．數值實驗表明該算法可用于混合氣體的溫度、濃度與流動的同時重建．

1聲吸收與溫度、濃度關系的推導

1.1聲波吸收計算的簡化

聲波在氣體中傳播，若無散射存在，造成聲波衰減的主要原因有兩種:聲波擴散引起的能量密度減小，即聲波傳播中因波陣面擴大而導致的聲能量密度的減弱;聲波能量在傳播過程中被介質吸收引起的衰減．聲衰減的計算式為

式中的I是接收點的聲強，I0是初始聲強，Id為波陣面擴散引起的聲強衰減，Ia為介質吸收引起的衰減．其中，擴散衰減與聲源的形狀有關，與介質的性質無關，由于本文發射的聲波為球面波，所以聲波的擴散衰減占較大的比重，要將該部分衰減加以考慮，具體計算過程參見文獻．氣體中的聲吸收由經典吸收和弛豫吸收加性組成．由于經典吸收主要作用于高頻聲波，在低頻和中頻段，其影響可忽略不計，故本文忽略經典吸收，用弛豫聲吸收直接代替聲波的吸收．如圖1，以一氧化碳、氮氣和氧氣組成的混合氣體為例，其中O2和N2固定濃度比為21:78，本文首先計算了不同聲波頻率下聲波的經典吸收和弛豫吸收．圖1中實線從左到右分別表示CO濃度為10%、50%和90%時候的弛豫聲吸收，虛線則代表三種濃度下聲波的經典吸收．從圖中可以看到，若選取的聲波頻率為中頻或低頻，弛豫聲吸收遠大于經典聲吸收，經典吸收可忽略不計，為本文簡化的合理性提供了支持依據．

1.2簡化的DL弛豫吸收模型根據氣體分子碰撞能量轉移理論，計算氣體分子的弛豫吸收時，應將分子的所有振動模式都加入碰撞能量轉移模型．本文選取的氣體組合為一氧化碳、氮氣和氧氣，這三種氣體都只有一個振動模式，在一定程度上簡化了DL計算模型．DL模型基于歐拉氣體方程，包含了混合氣體分子振動模式的內部溫度的聲學方程可表示為

當氣體處于聲波“壓縮/舒張”的過程時，式\\(3\\)中的p、r、u、ε和T表示壓力、密度、速度、分子能量和溫度在平均值附近小幅度的波動．

式中，νi為振動頻率，θvibi為振動特征溫度，gi是與振動頻率有關的退化方式．h=6.626×10－34J·s為普朗克常量，k=1.38×10－23J·K－1為波爾茲曼常數．表1中列出了關于這三種氣體的一些物理量．式\\(4\\)中的振動溫度則由微分方程\\(6\\)得到

式中，τtrani為平動弛豫時間，τvibi，k為振動弛豫時間．二者的詳細計算見文獻．表2中列出了在常溫下\\(298K\\)，本文計算的50%CO的混合氣體的弛豫時間．將式\\(5\\)、\\(6\\)帶入式\\(4\\)，與方程組\\(3\\)組成一個微分方程組，方程組的未知變量為p、r、u、T和Tvibi，由于這些值都代表了在平均值附近的波動，將其寫成如下的形式由于B是一個7×7矩陣，方程未知數也為7個，齊次線性方程組有解的條件是B的行列式為0，可由此計算出k值．k通常為一個復數，其虛部就是聲波的弛豫吸收系數a．由此，可以得到混合氣體溫度及各組分濃度同聲波弛豫吸收的關系．

2、空間混合氣體多物理場重建

2.1模型及算法

根據上述的推導，可以建立兩個關系模型:聲速依賴混合氣體溫度、濃度的三維模型，聲吸收依賴混合氣體溫度、濃度的三維模型．基于這兩個模型，本文提出的同時計算溫度和濃度的算法如下:

如圖2\\(a\\)，若測得聲波在混合氣體中的傳播速度為c0，那么在圖中可以做一水平切面，與模型交于一條線．同理，通過得到的聲吸收a0也可作一條交線，如圖2\\(b\\)．再將這兩條交線投影在溫度－濃度坐標系上，兩者的交點即混合氣體對應的溫度和濃度，如圖2\\(c\\)．

在建立聲吸收同溫度、濃度三維模型時，選取合適的聲波頻率非常關鍵．如圖1，弛豫吸收曲線的波峰對應的聲波頻率稱為有效弛豫頻率，在有效弛豫頻率兩側，聲波弛豫吸收隨頻率呈相反的變化趨勢．若聲波頻率選在有效弛豫頻率附近，弛豫聲吸收依賴氣體濃度的曲面變為拱形，等值切線不再單調，無法和聲速投影曲線交于一點．所以在選取聲波頻率建立模型的時候，既要遠離經典吸收主要作用的頻段，又要避開有效弛豫頻率附近的波段，結合本文的實例，選取10kHz作為聲波頻率．

2.2二維空間聲速及聲吸收的計算

本文將空間區域劃分為20×20個像素，將每個像素內的溫度和濃度近似為恒定，利用本文提出的算法，由聲速和聲吸收可計算出各個像素下的溫度和濃度．剩下的一個關鍵問題是如何獲得被測區域內每一點處的聲速和聲吸收．由于聲波在穿過混合氣體時，其傳播特性的改變是空間不同處混合氣體整體影響的效果，根據聲學CT方法，可以利用聲波的傳播時間\\(timeofflight，TOF\\)和聲強衰減\\(attenuationofsoundintensity，ASI\\)以重建出被測區域每處的聲速和聲吸收，值得注意的是，傳感器測到的聲強衰減包含了擴散衰減，所以，在此過程中要減去由于波陣面擴散引起的衰減．如圖3，在被測區域的四周均勻地布置上聲波傳感器，用來采集每條聲波的傳播時間和聲強．假設聲速為c\\(x，y\\)，介質自身的流動速度為u\\(x，y\\)，那么聲波在傳感器A和B之間的傳播時間可表示為

通過式\\(11\\)，可以得到c\\(x，y\\)的重建，再將其代入式\\(12\\)，實現u\\(x，y\\)的重建．在聲吸收計算方面，式\\(2\\)表達了在擴散衰減Id存在的情況下，接收端的聲強，對式\\(2\\)進行變換得到介質吸收引起的衰減:

Ia=I0－Id－I，\\(13\\)式中的擴散衰減Id可以預先計算，收發端的聲強I0和I為測量參數．此時，由式I0－Ia=I0exp\\(－αx\\)可以計算聲吸收系數α，

同速度的求法一樣，利用反演方法可以獲得每點的聲吸收系數．在測量數據較少的條件下，本文用高斯基函數組合分別去逼近聲速分布、聲吸收分布和介質速度分布．高斯基函數的形式為

為了達到較高精度，本文選擇30個基函數．三個物理場的q取值分別為:－0.02、－0.62和－0.02．

3、數值仿真及誤差分析

3.1數值仿真

仿真模型為一個邊長1m的正方形容器，從底部中心處通入具有一定溫度的高濃度CO氣體，與容器中的N2-O2進行混合，如圖4、5．溫度變化范圍:299K～350K;流場為一漩渦流動，最高流速為4.38m·s－1;容器中一氧化碳濃度范圍:20%～99%，由中心向四周擴散．原始的溫度場、速度場和濃度場的二維分布由下列公式給定．

數值仿真分為正問題和反問題兩個方向，正問題計算聲波經過該區域的TOF和ASI;反問題為由TOF和ASI數據，結合聲波的擴散衰減，計算聲波在每一個像素下的速度和聲吸收，再利用本文提出的算法，重建各個像素的溫度和濃度．同時，利用同一路徑、不同方向的TOF數據，重建混合氣體的流動信息．考慮到實際測量的誤差，本文中給TOF數據和ASI數據加上了5%的觀測誤差，仿真實驗在i3-2120CPU，4G內存的計算機的MATLAB軟件上進行．圖6和圖7為重建得到的聲速和聲吸收在二維區域的分布，從圖6可看到，聲速的分布形狀與溫度場分

布趨勢非常相似，這是因為本文中的氣體均為雙原子氣體，三種氣體的比熱容比相同，相對分子質量差距也比較小，所以CO-N2-O2組合中，溫度變化主導著聲速的變化．然而，圖7中混合氣體對聲波的吸收在二維區域中的分布趨勢則更加復雜，這也表明了混合氣體的溫度和濃度共同影響著聲波的弛豫吸收．圖8和圖9為重建得到的流場、濃度場和溫度場，重建相對誤差見表3．

3.2誤差分析

應用本文所提出的算法進行多物理場重建，產生的誤差主要包括四部分:測量TOF及ASI時的誤差，主要取決于測量的電子儀器的精度及聲波中的噪音影響，可以通過多次測量取平均值來減小此部分誤差;在計算聲速和聲吸收的過程中會產生一定的誤差，為了更精確的重構本文中的物理場，三個物理場的基函數數量均選為30個，本文的12個傳感器會產生54條聲波路徑，組成的線性方程組屬于不適定問題，本文采用了Tikhonov正則化方法解決此問題;由于應用于混合氣體濃度檢測的DL弛豫聲吸收模型是近幾年才被提出的，能夠進行驗證的實驗數據較少，弛豫吸收理論還有待于完善．在計算擴散衰減過程中也會產生一定的誤差，由于擴散衰減與被測氣體性質及聲波頻率無關，所以在實際測量中，可以通過變換介質及聲波頻率多次測量，獲取準確的擴散衰減．如圖2\\(a\\)和2\\(b\\)，在建立三維模型時，不可能將溫度和濃度無限地分割．理論上，將濃度和溫度劃分的越細，重建所能達到的精度就越高，但太多的網格也會影響算法的運行時間，應該從精度和耗時兩個方面考慮．表4列出了不同的網格劃分精度下，重建物理場的誤差和重建耗時．在TOF和ASI數據誤差一定的情況下\\(相對誤差5%\\)，本文采取的是Δt=0.1K，Δc=0.001，如果繼續加細，重建精度并未明顯提高，運行時間卻顯著增加．

4、結論

在計算聲波衰減的過程中，忽略經典吸收，用擴散衰減和弛豫吸收之和代替聲波總的衰減，并通過計算為該處理的合理性提供依據．在簡化的DL模型基礎上，與聲速一起，建立了兩個聲學參數同混合氣體濃度、溫度的三維關系模型．結合提出的聲學法多物理場重建算法，實現了CO-N2-O2混合氣體二維空間溫度場、濃度場及流場的同時重建，并確定了劃分濃度和溫度的最佳步長為Δt=0.1K，Δc=0.001．數值仿真結果表明該算法具有較高的精度，可以承受一定的噪聲干擾，并具有在線監測的能力．同時可以將該算法應用到其他混合氣體的測量，為混合氣體的復雜多物理場測量提供了一種新的有效方法．

參 考 文 獻:
［1］ Fan C，Sun F，Yang L． Thermographic identification algorithm of two-dimensional irregular-shaped self-heating subsurface defects［J］． Chinese Journal of Computational Physics，2009，26\\( 6\\) : 897 － 902．
［2］ Tang G，Xu C，Shao L，et al． Experimental study on in-situ measurement of flue gas concentration based on DOAS［J］．Chinese Journal of Scientific Instrument，2008，29\\( 2\\) : 244 － 249．
［3］ Vandenbulcke S，Persis D，Gries T，et al． Molecular beam mass spectrometry and kinetic modeling of CH4-CO2-H2O plasmas for syngas production［J］． Journal of the Taiwan Institute of Chemical Engineers，2012，43\\( 5\\) : 724 － 729．
［4］ Kollo Z，Demange D，Bornschein B，et al． Calibrating a gas chromatograph to measure tritium using calorimetry［J］． Fusion Engineering and Design，2009，84\\( 7\\) : 1073 － 1075．
［5］ Dain Y，Lueptow R M． Acoustic attenuation in three-component gas mixtures-Theory［J］． Acoustic Society of America，2001，109\\( 5\\) : 1955 － 1964．
［6］ Dain Y，Lueptow R M． Acoustic attenuation in a three-gas mixture: Results［J］． Acoustic Society of America，2001，110\\( 6\\) : 2974 －2979．
［7］ 朱明． 混合氣體濃度檢測的弛豫聲學方法研究［D］． 武漢: 華中科技大學，2008．
［8］ Zhu Ming，Wang S，Wang S，et al． An acoustic gas concentration measurement algorithm for carbon monoxide in mixtures based on molecular multi-relaxation mode［J］． Acta Physica Sinica，57\\( 9\\) : 5749 － 5755．
［9］ Yan H，Wang S，Zhou Y． Acoustic CT temperature field reconstruction based on adaptive regularization parameter selection［J］． Chinese Journal of Scientific Instrument，2012，33\\( 6\\) : 1301 －1307．
［10］ Bhatia A B． Ultrasonic absorption［M］． New York: Dover，1984．
［11］ 高紅武． 噪聲控制工程［M］． 武漢: 武漢理工大學出版社，2003．
［12］ Lambert J D，Salter R． Vibration relaxation in gases［J］． Mathematical and Physical Sciences，1959，253\\( 1273\\) : 277 －288．
［13］ Moore C B． Vibration-rotation energy transfer［J］． Journal of Chemical Physics，1965，43\\( 9\\) : 2979 －2986．
［14］ Zittel P F，Masturzo D E． Vibrational relaxation of H2O from 295 to 1020K ［J］． Journal of Chemical Physics，1988，90\\( 2\\) :977 － 989．
［15］ Petculescu A G，Lueptow R M． Fine-turning molecular acoustic models: Sensitivity of the predicted attenuation to the Lennard-Jones parameters［J］． Acoustic Society of America，2005，117\\( 1\\) : 175 － 184．
［16］ Phillips S，Dain Y，Lueptow R M． Theory for a gas composition sensor based on acoustic properties［J］． Measurement Science and Technology，2003，14: 70 － 75．
［17］ Li Y，Zhou H． Experimental study on acoustic vector tomography of 2-D flow field in an experiment-scale furnace［J］． Flow Measurement and Instrumentation，2006，17: 113 － 122．
［18］ Zucherwar A J，Gtiffin W A． Effect of water vapor on sound absorption in nitrogen at low frequency/pressure ratios［J］．Acoustic Society of America，1981，69\\( 1\\) : 150 － 154．
［19］ Gravitt J C，Whetstone C N，Lagemann R T． Thermal relaxation absorption of sound in the deuterated methanes at 26℃［J］．Journal of Chemical Physics，1966，44\\( 1\\) : 70 － 72．