0、凸函數的相關定義及引理
本文旨在通過對一些經濟理論和現象的解釋來揭示凸函數在微觀經濟學中的重要應用。先介紹凸函數相關理論以及微觀經濟學中的相關概念，并在此基礎上探討研究凸函數在微觀經濟學中的應用，再通過生產函數與效用函數等經濟模型來展現凸函數在微觀經濟學中的應用，利用函數凹凸性探討了凸函數相關理論在消費者效用最大化問題中的應用。
定義1:設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1,x2和任意實數λ∈\\(0,1\\)總有
反之，如果總有
如果（1）、（2）、（3）、（4）中的不等式改為嚴格不等式，則相應的函數稱為嚴格凸函數和嚴格凹函數。
引理1:設f為區間I上的可導函數，則下述論斷互相等價：（1）f為I上凸函數；（2）f′為I上的增函數；（3）對I上的任意兩點x1，x2，有f\\(x\\)2≥f\\(x\\)1+f′\\(x\\)1\\(x\\)2-x1。
引理2:設f為區間I上的二階可導函數，則在I上f為凸（凹）函數的充要條件是f″\\(x\\)≥0\\(f″\\(x\\)≤0\\),x∈I。顯然,若-f為區間I上的凸函數，則f為區間I上的凹函數，所以我們只需討論凸函數的性質即可。
1、凸函數在生產函數中的應用
定義3：經濟學中的生產函數是指：在既定的工程技術知識水平下，給定投入之后所能夠得到的最大的產出。簡單來說，生產函數描述的就是在現有技術下，產品的最大產出量與所需要素投入量之間的關系。
生產函數通?？煞譃橐环N可變投入生產函數和多種可變投入生產函數。前者一般研究短期生產，而后者通?？疾扉L期生產。生產函數Q可表示為：
Q=f\\(L\\),K,N,E（5）
式中變量L表示產量，K表示投入勞動，N表示資本，E表示土地和企業家。一般情況下，我們將其簡化為以下形式：
Q=f\\(L\\),K（6）
經濟增長中所遇到的生產函數既有凸生產函數也有凹生產函數，這里要考察的是凸生產函數模型。
令總產量為TP=Q，平均產量為AP，邊際產量（在其他投入保持不變的情況下，由于新增1單位的投入而多生產出來的產量或產出）為MP，假設Q=f\\(L\\),K是連續的。那么就有
如果生產函數在某一區間上是凸函數，那么根據引理2在該區間上其二階微分d2Q≥0，也就是說邊際產量的微分dMP≥0。根據引理1知，可導凸函數的導函數是單調遞增的，我們可以知道當生產函數為凸函數時，邊際產量是遞增的也就是說社會總產量的增長率是遞增的。此時經濟處于增長狀態。相反，當生產函數為凹函數時，邊際產量的微分dMP≤0，隨著資本、勞動的投入總產量會減少。
于是，我們可以得出這樣一個結論：在既定技術條件下，當生產函數為凸函數時經濟處于增長狀態，此時我們應當加大資本和勞動的投入以獲取更大的產出。
2、凸函數在消費者效用最大化問題中的應用
下面我們來探討凸函數在消費者效用最大化問題中的應用。在討論消費者效用最大化問題之前，我們需要知道什么是效用。效用就是指消費者在消費時所感受到的滿意度。
定義4：假設有n種商品，xi表示第i種商品的數量，消費者可以購買的商品組合為X=\\(x1,x2…xi…xn\\),它也被稱為消費組合。令U表示滿意度，那么效用函數就可以表示為U=U\\(x1,x2…xi…xn\\)。
對上述效用函數，我們也可以利用滿意度大小對其賦值。對滿意度較大的消費組合賦予較大的值，滿意度較小的消費組合賦予較小的值，滿意度相等的消費組合賦予相同的值。由于消費者對商品的滿意度的值很難確定，所以在實際生活中，效用函數一般用來反映消費者對商品滿意度的順序。
消費者在實現效用最大化時還受到預算的約束。預算集是預算的集合，它表示在一定的消費者收入和商品價格的條件下，消費者可以買到商品的消費組合。令m表示消費者的收入，p=\\(p1,p2,…pn\\)為商品價格的集合，那么預算集就為：B\\(p,m\\)={x}∈X|xpT≤m所以消費者效用最大化問題就可以歸結為在預算集中選擇最優的消費組合,使得效用函數U\\(x\\)最大。也就是求：
定理2：效用函數U=U\\(x1,x2…xi…xn\\)必為嚴格凹函數。
證：消費者的消費行為就是消費者總是選擇滿意度最大的商品。對于商品a,b，令它們的效用函數為U\\(xa\\),U\\(xb\\)，不妨設消費者對商品a的滿意度大于商品b，也就是U\\(xa\\)>U\\(xb\\)。假設存在商品c，使得商品c的效用函數
因為效用函數反映的是消費者對商品的滿意度以及選擇順序，所以：
因此，依據消費者的消費行為可以認定效用函數為嚴格凹函數。又因為預算集X\\(p,m\\)是非空的凸集，根據極值定理和凸函數的性質，可以推出最優解存在并且唯一。
定理3：當效用函數U=U\\(x1,x2…xi…xn\\)為嚴格凹函數，并且最優解存在時，最優解是唯一的。
證：設X1∈B\\(p\\),m為最優消費組合，也就是當消費組合為X1時，U\\(X1\\)最大。如果說最優消費組合不唯一，那么存在X2∈B\\(p\\),m，（X1≠X2）也使得U\\(X2\\)最大，并且U\\(X1\\)=U\\(X2\\)。因為預算集X\\(p,m\\)是非空的凸集，所以對于任意的α∈[0,1]都有
與不等式（10）矛盾。所以X1=X2，即最優消費組合是唯一的。
下面來舉例說明當效用函數是嚴格凹函數時，最優的消費組合也即最優解的存在性。
例:消費者甲有現金400元，要去商貿城買某款衣服，一般每件在80元左右成交。她對該款衣服的滿意度可用效用函數U\\(x\\)=-15x2+95x+10表示。x表示該款衣服的數量。根據數學模型（9）來求最優的消費組合。
根據預算集B\\(p,m\\)={x}∈X|xpT≤m我們可以等到不等式80x≤400，所以有x≤5。根據已知條件畫圖得：
所以由圖1可以看到，當效用函數取最大值時，所對應的消費組合就是最優解，也就是最優消費組合。所以求得當x=3.17時效用函數的值最大為160.42，因為x為整數，所以取x=3，此時效用為160。所以最優消費組合就是X={3}。
由上述例子我們可以看到：當效用函數為嚴格凹函數，在定義域內，它必然存在一個最大值。又因為當我們得到第一件商品時，此時對商品的滿意程度必然是大于0，所以當x=1時，效用函數U\\(x\\)>0，它與x軸存在交點。所以在效用函數與x軸以及預算集所形成可行域內（如圖1）必然存在一個最優解使得效用最大。
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