摘要：趙爽是東漢末年至三國時期的著名數學家，他在《周髀算經》的注文中提出許多新的數學見解。同時，他的數學思想及方法對中國整個數學體系的形成及發展都有著重要的作用。
關鍵詞：唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。
趙爽是東漢末年至三國時期的著名數學家，同時也是中國歷史上著名的天文學家，他大約生活在 3 世紀，生卒不詳。他在數學上的成就主要表現為對勾股定理簡潔的證明，重差術的理論，一元二次方程的求解及根與系數的關系四個方面的貢獻。2 世紀，趙爽開始深入研究《周髀算經》，該書是中國歷史上最古老的天文學著作，其中就有對“勾股圓方圖”的注釋，總結出中國古代的勾股定理，這是對中國數學史的巨大貢獻。另外，趙爽還在此基礎上進行了創新，提出了新的證明公式。趙爽在數學方面的成就主要體現其所撰寫的《勾股圓方圖》，是中國歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作，而且這種證明簡單實用，至今仍在沿用。趙爽還創造出世界上最早的求根公式，并對《九章算術》中的分數計算方法上升到理論高度，創立了“齊同術”,足見稱其為數學宗師是非常恰當的。
一、趙爽數學思想產生的社會背景。
1.來源于人類實踐活動的數學思想。趙爽在《周髀算經》的注文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，勾股之所由生也?！边@就說明，大禹治水時期便采用了疏通河流的辦法使大水流往大海，而無“浸溺逆”,這也是勾股定理產生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數學家歐弟姆斯對幾何學的產生的思路不謀而合，歐弟姆斯曾說“:幾何學是埃及人發現的，是在測量土地的過程中產生的，因為那時候的尼羅河泛濫成災，經常沖毀良田，這種幾何學的測量技術是必要的?！盵1]17所以，幾何學起源于土地測量，一般從事農業生產的民族都有著豐富的幾何學知識。恩格斯曾說，數學是根據人的需要產生的，是從丈量土地面積、計算器具容積中產生的，是一種有目的改造客觀世界的活動中產生的。所以，趙爽的數學思想也來源于實際，以滿足于客觀世界的需要。
2.吳國推行發展教育的文教政策。根據史料考證，趙爽為三國時期吳國人，由于當時吳國為戰事需要采取了一系列發展生產的措施，使得社會經濟有了較大的進步。同時，在思想及文學領域也出現了秦漢以來前所未有的局面，其中數學思想的進展尤為明顯。當時的吳國推行了發展數學教育的文教政策，孫權于黃武三年推行“改四分，用乾象歷，詔令教學諸子”.永安二年，孫休推行教學為先的政策“,道世冶性，為時養器”.當時吳國推行的這些教育建國，培養人才的措施，極大推進了社會的發展及經濟的繁榮。當時，吳國還在地方設立官學“,濟陽人篤學好古，瑜厚之，使百人受業，遂立學官”.雖然吳國“學官”措施推行并沒多久，但當時確實出現許多的數學及天文人才，如陳馳善九章術，與漢代許商、王柔并稱。除官學之外，吳國也非常流行私學，如“虞凡講學不倦，門徒數百人，又為《老子》、《荀子》、《國語》訓注”.吳國的私學者多潛心學術，熱愛教學工作，對教育事業全心投入，《周髀算經注》中就有“后學之徒知數皆然”[2]73.
二、趙爽的數學哲學思想與應用價值。
1.“數形”與“歸納、演繹”統一的思想。趙爽在《周髀算經注》中提到“:數之法理出于方圓，方圓者天地之形狀，陰陽之數，陳方圓之形，以見其象，因奇偶之數，以制其法。物有方圓，數有奇偶，天動為圓其數奇，地靜為方其數偶?！彼?，趙爽的天地之形含有幾何方面的內容，同時，數之法出于圓方也含有代數思想。就是說，通過數的計算，著重考察圖形中數的關系，通過得出的數值來解決實際生活問題。同時，也可以通過“形”的直觀解決數的算法，這就將數形完美結合在一起。其實，數與形的結合并不是偶然產生的，中國作為一個農業大國，在丈量土地、儲存糧食、開挖水渠時都會遇到大量關于面積、體積的問題，如用代數方法解決幾何問題將起到事半功倍的效果。實際上，數與形并不是完全分開的，在計算長度、面積的時候就很容易將兩者聯系起來。趙爽的《周髀算經注》便體現這種數形統一的思想。
歸納是將特殊或個別的事物中概括出一般性的結論，而演繹則是由一般原理推出個別或特殊事物的結論。歸納與演繹是人們認識事物過程中相輔相成的兩個方面。趙爽的數學思想中包含歸納、演繹統一的思想，在其《周髀算經》注文中提到“:善哉，言明曉之意，所謂問一事而萬事達?！边@里的“問一事而萬事達”就是從個別到一般的歸納思維過程。他還曾提到“:引而伸之，觸類而長之，天下事畢矣?！盵3]77這又從一般原理引申出個別的演繹思維過程。所以，趙爽在數學研究中將歸納與演繹兩者統一起來“,勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即為弦”.這就是從個別到一般的推理過程。所以，驗證數學命題的真偽就需要通過演繹推理來實現。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個命題，并全部采用演繹推理的方式給出了證明。
2.“變與不變”的思維方法及“實用”的數學思想?？陀^事物是不斷發生變化的，且事物的大多數性質也會發生改變，而有些性質卻相對穩定，這就是變與不變的性質，即事物的相對穩定性。趙爽在證明勾股定理的過程中，就是將圓形進行“割補”,其面積卻保持不變，這即為“變與不變”數學思維，趙爽通過“割補”的方式證明勾股定理是非常巧妙的，他說“形詭而量均，體殊而數齊”,即體形雖然有差異，但數量是不變的。將一個形體首先分割為有限的分體，然后再拼湊起來，便成為一個與它等面積的新個體。趙爽的這一“變與不變”思想對中國古代幾何的發展有著重要影響。劉徽在其《九章算術注》中將這種出入相補的思想視作以后“演段法”的基礎。中國傳統數學的平面幾何問題一般都采用這種“出入相補”的拼湊方法進行處理。直到 12 世紀，國外才有關于趙爽這種“割補”方法的證明，由當時印度數學家巴斯卡蘭給出，晚于趙爽的近九百多年。
數學來源于實際并應用于實際，作為一門研究空間形式與數量關系的科學，數學有廣泛的用途。中國古代傳統數學是以實用為目的的，其內容大多與生產及生活實際相關，并廣泛用于生產生活各方面，這也使得中國傳統數學長期處于世界數學的領先地位。趙爽也有著深厚的數學實用思想，他在《周髀算經》的注文中提到“:萬事萬物圓方用矣，大匠造制而有規矩?！彼?，他明確指出圓方的設計可用于萬事萬物“,大匠造制”則充分說明數學應用的廣泛性及其價值意義。
三、趙爽的數學成就及重要歷史貢獻。
1.《周髀算經注》透析了數學之理。南宋數學家稱趙爽為“乘勾股竹黃之實，以近開方之妙，百世之下莫人能及，算學宗師也”.趙爽在他的《周髀算經注》中詳細注解了勾股術法之妙，透析了數學教育之理。根據史料考證，趙爽曾經深入研究了劉洪撰寫的《乾象歷》及天文學家張衡的《靈憲》等著作，并多次談及算學之術。在出入相補方面，圖形的總面積總保持不變，這就是趙爽創立的“割補之術”.同時，他還為《九章算術》進行了注釋，并將其歸納為出入相補原理，這也成為后世“演段術”形成的重要基礎。另外，趙爽還在其注文中提到與韋達定理類似的結果，并進一步研究一元二次方程的解法，證明了與其相關的二十多個命題。其實，趙爽還是一個未脫離體力勞動的數學家，他曾說自己一直在從事體力勞動的時候進行《周髀》的研究工作，最終完成了《周髀算經注》。該作品大約成書于前 100 年前后，是一部關于構圖定律、分數運算的數學著作。在《周髀算經注》中，趙爽對原作的經文進行逐段逐句的解讀，其中尤以勾股圓方圖最為精彩，簡練的五百多字高度概括了《周髀算經》的主要內容。
2.推動中國傳統數學思想的發展。在相當長的時間內，中國的數學長期處于世界領先地位。數學作為一門研究空間與數量關系的學科，有著現實的應用需要，中國傳統數學體系就是在此基礎上建立的，并廣泛應用于社會實際。趙爽的數學思想極大地推動了中國傳統數學的發展，同時在傳統數學思想的影響下，趙爽在其《周髀算經》的注文中多次證明了數學的實際操作意義及應用的廣泛性。趙爽曾指出，為了有效解決實際問題，通過考察圖形中的數量關系及運算關系，就可以得到人們所需要的數值。趙爽認為“:夫高者莫大于天，厚廣者莫廣于地，皆可導儀驗其長短?！彼麑⒆匀唤缈醋魇且粋€相互聯系的物質集合，并可以通過儀器間接測量出來。趙爽認為數學能應用于天地之道，神明之德，這是其承襲中國歷代數學家思想的反映。他對商高的測量方法中提到“:以水繩之，慎毫厘之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制畫方?！盵4]57這段內容記述了趙爽通過勾股定理進行測量的方法，充分體現其經世致用的實用思想。
3.數學與數學教育方面的創新?！吨荀滤憬洝凡捎脝柎鸬男问?，由此可知其屬于數學教材，而趙爽的《周髀算經注》則屬于數學教材的指導用書，他在《周髀算經注》中的“統敘群倫，裁制萬物”思想，展示其先進的數學教育思想?！吨荀滤憬洝分杏袑垂啥ɡ斫浀涞拿枋?，即“勾廣三，股修四，徑隅五”.然而，在趙爽的注文中則給出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，并之為弦實”,這就將數學知識推廣開來。趙爽繼承了孔子的啟發式教學模式“,凡教之道， 舉一隅，反之以三也”.他還根據自己多年的數學教學經驗，總結出數學教育的一般規律，最后達到“啟發”的效果。其實，學習是一項艱苦的智力勞動，只有學思結合才能最終完成“,不精思，不學習，則言吾無隱”.所以，趙爽一直反對反而不思的學習方式，并提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開闊思維?！把晕釤o隱”便是引用孔子的教學思想，即“盡其知”,毫無隱瞞。所以，趙爽還是一位“不隱其學”的數學教育家。趙爽的“熟思”理念，就是強調要發展學生的思維，調動其學習的積極性，同時引導學生獨立思考。由此可知，趙爽不但在數學上有著極高的造詣，而且還是在數學教育上有著較高水平的數學大師。在數學教育上，趙爽的“貫幽人微，鉤深致遠”思想，便是對數學學習過程及學生心理狀態的把握。他總結的“審問、累思、所學、通類、精習”五個學習環節是一種由感性到理性的認識過程，這也是儒家學習論的核心。
參考文獻：
[1]唐斌如。趙爽的數學哲學思想[J].南昌教育學院學報，2009（4）。
[2]陳德華。中國古代算家的成就與治學思想[M].云南大學出版社，1998（3）。
[3]童建華。算學宗師趙爽的數學教育思想[J].西南民族大學學報，2009（1）。
[4]郭樹春。中國科學技術典籍通匯[M].河南教育出版社，2005（5）。
關鍵詞：唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。
趙爽是東漢末年至三國時期的著名數學家，同時也是中國歷史上著名的天文學家，他大約生活在 3 世紀，生卒不詳。他在數學上的成就主要表現為對勾股定理簡潔的證明，重差術的理論，一元二次方程的求解及根與系數的關系四個方面的貢獻。2 世紀，趙爽開始深入研究《周髀算經》，該書是中國歷史上最古老的天文學著作，其中就有對“勾股圓方圖”的注釋，總結出中國古代的勾股定理，這是對中國數學史的巨大貢獻。另外，趙爽還在此基礎上進行了創新，提出了新的證明公式。趙爽在數學方面的成就主要體現其所撰寫的《勾股圓方圖》，是中國歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作，而且這種證明簡單實用，至今仍在沿用。趙爽還創造出世界上最早的求根公式，并對《九章算術》中的分數計算方法上升到理論高度，創立了“齊同術”,足見稱其為數學宗師是非常恰當的。
一、趙爽數學思想產生的社會背景。
1.來源于人類實踐活動的數學思想。趙爽在《周髀算經》的注文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，勾股之所由生也?！边@就說明，大禹治水時期便采用了疏通河流的辦法使大水流往大海，而無“浸溺逆”,這也是勾股定理產生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數學家歐弟姆斯對幾何學的產生的思路不謀而合，歐弟姆斯曾說“:幾何學是埃及人發現的，是在測量土地的過程中產生的，因為那時候的尼羅河泛濫成災，經常沖毀良田，這種幾何學的測量技術是必要的?！盵1]17所以，幾何學起源于土地測量，一般從事農業生產的民族都有著豐富的幾何學知識。恩格斯曾說，數學是根據人的需要產生的，是從丈量土地面積、計算器具容積中產生的，是一種有目的改造客觀世界的活動中產生的。所以，趙爽的數學思想也來源于實際，以滿足于客觀世界的需要。
2.吳國推行發展教育的文教政策。根據史料考證，趙爽為三國時期吳國人，由于當時吳國為戰事需要采取了一系列發展生產的措施，使得社會經濟有了較大的進步。同時，在思想及文學領域也出現了秦漢以來前所未有的局面，其中數學思想的進展尤為明顯。當時的吳國推行了發展數學教育的文教政策，孫權于黃武三年推行“改四分，用乾象歷，詔令教學諸子”.永安二年，孫休推行教學為先的政策“,道世冶性，為時養器”.當時吳國推行的這些教育建國，培養人才的措施，極大推進了社會的發展及經濟的繁榮。當時，吳國還在地方設立官學“,濟陽人篤學好古，瑜厚之，使百人受業，遂立學官”.雖然吳國“學官”措施推行并沒多久，但當時確實出現許多的數學及天文人才，如陳馳善九章術，與漢代許商、王柔并稱。除官學之外，吳國也非常流行私學，如“虞凡講學不倦，門徒數百人，又為《老子》、《荀子》、《國語》訓注”.吳國的私學者多潛心學術，熱愛教學工作，對教育事業全心投入，《周髀算經注》中就有“后學之徒知數皆然”[2]73.
二、趙爽的數學哲學思想與應用價值。
1.“數形”與“歸納、演繹”統一的思想。趙爽在《周髀算經注》中提到“:數之法理出于方圓，方圓者天地之形狀，陰陽之數，陳方圓之形，以見其象，因奇偶之數，以制其法。物有方圓，數有奇偶，天動為圓其數奇，地靜為方其數偶?！彼?，趙爽的天地之形含有幾何方面的內容，同時，數之法出于圓方也含有代數思想。就是說，通過數的計算，著重考察圖形中數的關系，通過得出的數值來解決實際生活問題。同時，也可以通過“形”的直觀解決數的算法，這就將數形完美結合在一起。其實，數與形的結合并不是偶然產生的，中國作為一個農業大國，在丈量土地、儲存糧食、開挖水渠時都會遇到大量關于面積、體積的問題，如用代數方法解決幾何問題將起到事半功倍的效果。實際上，數與形并不是完全分開的，在計算長度、面積的時候就很容易將兩者聯系起來。趙爽的《周髀算經注》便體現這種數形統一的思想。
歸納是將特殊或個別的事物中概括出一般性的結論，而演繹則是由一般原理推出個別或特殊事物的結論。歸納與演繹是人們認識事物過程中相輔相成的兩個方面。趙爽的數學思想中包含歸納、演繹統一的思想，在其《周髀算經》注文中提到“:善哉，言明曉之意，所謂問一事而萬事達?！边@里的“問一事而萬事達”就是從個別到一般的歸納思維過程。他還曾提到“:引而伸之，觸類而長之，天下事畢矣?！盵3]77這又從一般原理引申出個別的演繹思維過程。所以，趙爽在數學研究中將歸納與演繹兩者統一起來“,勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即為弦”.這就是從個別到一般的推理過程。所以，驗證數學命題的真偽就需要通過演繹推理來實現。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個命題，并全部采用演繹推理的方式給出了證明。
2.“變與不變”的思維方法及“實用”的數學思想?？陀^事物是不斷發生變化的，且事物的大多數性質也會發生改變，而有些性質卻相對穩定，這就是變與不變的性質，即事物的相對穩定性。趙爽在證明勾股定理的過程中，就是將圓形進行“割補”,其面積卻保持不變，這即為“變與不變”數學思維，趙爽通過“割補”的方式證明勾股定理是非常巧妙的，他說“形詭而量均，體殊而數齊”,即體形雖然有差異，但數量是不變的。將一個形體首先分割為有限的分體，然后再拼湊起來，便成為一個與它等面積的新個體。趙爽的這一“變與不變”思想對中國古代幾何的發展有著重要影響。劉徽在其《九章算術注》中將這種出入相補的思想視作以后“演段法”的基礎。中國傳統數學的平面幾何問題一般都采用這種“出入相補”的拼湊方法進行處理。直到 12 世紀，國外才有關于趙爽這種“割補”方法的證明，由當時印度數學家巴斯卡蘭給出，晚于趙爽的近九百多年。
數學來源于實際并應用于實際，作為一門研究空間形式與數量關系的科學，數學有廣泛的用途。中國古代傳統數學是以實用為目的的，其內容大多與生產及生活實際相關，并廣泛用于生產生活各方面，這也使得中國傳統數學長期處于世界數學的領先地位。趙爽也有著深厚的數學實用思想，他在《周髀算經》的注文中提到“:萬事萬物圓方用矣，大匠造制而有規矩?！彼?，他明確指出圓方的設計可用于萬事萬物“,大匠造制”則充分說明數學應用的廣泛性及其價值意義。
三、趙爽的數學成就及重要歷史貢獻。
1.《周髀算經注》透析了數學之理。南宋數學家稱趙爽為“乘勾股竹黃之實，以近開方之妙，百世之下莫人能及，算學宗師也”.趙爽在他的《周髀算經注》中詳細注解了勾股術法之妙，透析了數學教育之理。根據史料考證，趙爽曾經深入研究了劉洪撰寫的《乾象歷》及天文學家張衡的《靈憲》等著作，并多次談及算學之術。在出入相補方面，圖形的總面積總保持不變，這就是趙爽創立的“割補之術”.同時，他還為《九章算術》進行了注釋，并將其歸納為出入相補原理，這也成為后世“演段術”形成的重要基礎。另外，趙爽還在其注文中提到與韋達定理類似的結果，并進一步研究一元二次方程的解法，證明了與其相關的二十多個命題。其實，趙爽還是一個未脫離體力勞動的數學家，他曾說自己一直在從事體力勞動的時候進行《周髀》的研究工作，最終完成了《周髀算經注》。該作品大約成書于前 100 年前后，是一部關于構圖定律、分數運算的數學著作。在《周髀算經注》中，趙爽對原作的經文進行逐段逐句的解讀，其中尤以勾股圓方圖最為精彩，簡練的五百多字高度概括了《周髀算經》的主要內容。
2.推動中國傳統數學思想的發展。在相當長的時間內，中國的數學長期處于世界領先地位。數學作為一門研究空間與數量關系的學科，有著現實的應用需要，中國傳統數學體系就是在此基礎上建立的，并廣泛應用于社會實際。趙爽的數學思想極大地推動了中國傳統數學的發展，同時在傳統數學思想的影響下，趙爽在其《周髀算經》的注文中多次證明了數學的實際操作意義及應用的廣泛性。趙爽曾指出，為了有效解決實際問題，通過考察圖形中的數量關系及運算關系，就可以得到人們所需要的數值。趙爽認為“:夫高者莫大于天，厚廣者莫廣于地，皆可導儀驗其長短?！彼麑⒆匀唤缈醋魇且粋€相互聯系的物質集合，并可以通過儀器間接測量出來。趙爽認為數學能應用于天地之道，神明之德，這是其承襲中國歷代數學家思想的反映。他對商高的測量方法中提到“:以水繩之，慎毫厘之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制畫方?！盵4]57這段內容記述了趙爽通過勾股定理進行測量的方法，充分體現其經世致用的實用思想。
3.數學與數學教育方面的創新?！吨荀滤憬洝凡捎脝柎鸬男问?，由此可知其屬于數學教材，而趙爽的《周髀算經注》則屬于數學教材的指導用書，他在《周髀算經注》中的“統敘群倫，裁制萬物”思想，展示其先進的數學教育思想?！吨荀滤憬洝分杏袑垂啥ɡ斫浀涞拿枋?，即“勾廣三，股修四，徑隅五”.然而，在趙爽的注文中則給出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，并之為弦實”,這就將數學知識推廣開來。趙爽繼承了孔子的啟發式教學模式“,凡教之道， 舉一隅，反之以三也”.他還根據自己多年的數學教學經驗，總結出數學教育的一般規律，最后達到“啟發”的效果。其實，學習是一項艱苦的智力勞動，只有學思結合才能最終完成“,不精思，不學習，則言吾無隱”.所以，趙爽一直反對反而不思的學習方式，并提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開闊思維?！把晕釤o隱”便是引用孔子的教學思想，即“盡其知”,毫無隱瞞。所以，趙爽還是一位“不隱其學”的數學教育家。趙爽的“熟思”理念，就是強調要發展學生的思維，調動其學習的積極性，同時引導學生獨立思考。由此可知，趙爽不但在數學上有著極高的造詣，而且還是在數學教育上有著較高水平的數學大師。在數學教育上，趙爽的“貫幽人微，鉤深致遠”思想，便是對數學學習過程及學生心理狀態的把握。他總結的“審問、累思、所學、通類、精習”五個學習環節是一種由感性到理性的認識過程，這也是儒家學習論的核心。
參考文獻：
[1]唐斌如。趙爽的數學哲學思想[J].南昌教育學院學報，2009（4）。
[2]陳德華。中國古代算家的成就與治學思想[M].云南大學出版社，1998（3）。
[3]童建華。算學宗師趙爽的數學教育思想[J].西南民族大學學報，2009（1）。
[4]郭樹春。中國科學技術典籍通匯[M].河南教育出版社，2005（5）。
