三上義夫\\(1875-1950,后文簡稱三上\\)是國際上最著名的東亞科學史家之一,他最早對中國數學史進行現代意義上的研究,有許多真知灼見,其中不少看法已經成為中國數學史研究領域的定論,他的一些研究方法對中國數學史的研究至今仍有啟發意義.同時,我們也發現,他的一些研究并不為國人所知,有的還被做重復研究.本文選取三上對《九章算術》陽馬術劉徽注的研究作為案例,系統闡述他對陽馬術劉徽注的研究成果并揭示他對中國數學史相關研究的推動作用.這個案例也是以前關于三上的研究所沒有深入展開的,本文對此進行一個補充.三上對陽馬術劉徽注的研究是基于中國清代學者李潢的相關研究,本文將李潢所引陽馬術劉徽的注文置于文章開始,作為討論的基準文獻,同時為了行文方便,對其中語句用字母進行了編號.注文如下:
\\(a\\)其使鱉臑廣、袤、各高二尺,用塹堵、鱉臑之棊各二,皆用赤棊.又使陽馬之廣、袤、高各二尺,用立方之棊一,塹堵、陽馬之棊各二,皆用黑棊.棊之赤、黑,接為塹堵,廣、袤、高各二尺.
\\(b\\)于是中效其廣,又中分其高.令赤、黑塹堵各自適當一方,高二尺、方二尺,每二分鱉臑,則一陽馬也.
\\(c\\)其余兩端各積本體,合成一方焉.
\\(d\\)是為別種而方者率居三,通其體而方者率居一.
\\(e\\)雖方隨棊改,而固有常然之勢也.
\\(f\\)按余數具而可知者有一、二分之別,即一、二之為率定矣.其于理也豈虛矣.若為數而窮之,置余廣、袤、高之數各半之,則四分之三又可知也.半之彌少,其余彌細,至細曰微,微則無形,由是言之,安取余哉?數而求窮之者,謂以情推,不用籌算.
\\(g\\)鱉臑之物,不同器用,陽馬之形,或隨修短廣狹.然不有鱉臑,無以審陽馬之數,不有陽馬,無以知方亭之數,功實之主也.李潢的研究李潢\\(?-1812\\),字云門,鐘祥人.乾隆三十六年\\(1771\\)進士,后在四庫全書館中以翰林編修充任總目協纂官,官至工部左侍郎.
他著有《九章算術細草圖說》\\(9卷\\),以孔繼涵刻、戴震校、微波榭本《算經十書》之《九章算術》為底本,由按、草、說、圖構成.李潢在《九章算術細草圖說》中對上述陽馬術劉徽注進行了研究.在?？狈矫?
\\(1\\)指出\\(a\\)中“各高”為“高各”之誤;
\\(2\\)指出\\(c\\)中“兩棊”誤作“兩端”;
\\(3\\)指出\\(g\\)中“方亭之數”按宋本作“錐亭之類”,蓋方錐、圓錐、方亭、圓亭形體不一,故云“類”也;
\\(4\\)懷疑“按余數具而可知者”至“安取余哉”疑文有錯誤,不敢強為之說;
\\(5\\)懷疑“功實之主”亦有脫文.李潢在術文解讀方面:
\\(1\\)指出此段陽馬術劉徽注要申明陽馬居二,鱉臑居一之理;
\\(2\\)解釋了其中的拼合方式,即如何以赤棊四、黑棊五拼合成立方四.他認為各以一赤鱉臑接一黑陽馬構成兩塹堵,合成一方;以一赤塹堵和一黑塹堵合成一方,有兩個;原有黑立方一個;
\\(3\\)認為陽馬中原有的一個黑立方,是通其體而方者率居一.其他拼合的三個立方,是別種而方者率居三.從現代的研究成果來看,李潢尚有幾個重要之處沒有?？背鰜?以文獻為參照,\\(b\\)句“于是中效其廣”后應補“袤”字,“高二尺、方二尺”的兩“二”字應為“一”,\\(c\\)句中 “兩端”不誤,李潢改作 “兩棊”不妥.李潢?？钡赲\(4\\)、\\(5\\)兩條以及術文解讀第\\(3\\)條有誤,說明他尚未看懂分割的極限過程,沒有弄清鱉臑、陽馬之比為何為1∶2,以及鱉臑、陽馬是推求錐、亭程功積實的基礎.對于李潢提出的4個小立方的拼合方式目前尚存爭鳴.
2、三上的研究三上于20世紀30年代在他的博士論文第29節對陽馬術劉徽注進行了深入研究,他的成果主要體現在?？?、補圖說明和數理解讀三個方面.
2.1?？狈矫嫒险J為李潢的解說精細、參照方便,不過并未接觸到要點.他認同李潢\\(1\\)、\\(2\\)兩條校訂,但以郭書春匯?！毒耪滤阈g》為參照,第\\(2\\)條校訂有誤.他指出\\(b\\)句中“兩分”是“兩個”的誤寫,此處?？庇姓`,導致他理解錯誤,解釋成“兩個鱉臑合成一個陽馬”.實際上是分割之后,得到一個黑立方和由兩個赤、黑塹堵合成的立方,共計3個立方.由這3個立方來看,由鱉臑組成立方的2倍等于由陽馬組成的立方,也就是赤棊的2倍等于黑棊.對于\\(f\\)句,他不認同李潢的觀點,認為此句最重要,沒有錯誤.
2.2補圖說明三上在文獻中給出了陽馬、鱉臑以及塹堵的分割、拼合圖\\(圖1~圖3\\),并對圖示進行了說明.他指出,作廣、袤、高各二尺的陽馬和鱉臑,對其進行分割,前者分割成1個小立方,2個小塹堵和2小陽馬\\(圖1\\),后者分割成2個小塹堵和2個小鱉臑\\(圖2\\),二者并在一起構成一個塹堵\\(圖3\\).這里構成陽馬的五棊是黑色的,構成鱉臑的四棊是紅色的.應該說,三上是最早正確地給出陽馬和鱉臑的分割、拼合圖的學者.
2.3數理解讀方面三上對這段注文給出了兩種數理解讀.\\(1\\)他提到把赤黑兩塹堵合成1個小立方.他指出塹堵\\(圖3\\)由4個小立方構成,即原有的1個小立方與合成的3個小立方.他用算式表示為\\(陽馬\\)=\\(小立\\)+2\\(小塹\\)+2\\(小陽\\)=2\\(小立\\)+2\\(小陽\\),\\(鱉臑\\)=2\\(小塹\\)+2\\(小鱉\\)=\\(小立\\)+2\\(小鱉\\).然后,他從上述兩式之和中減去3個小立方,得到\\(小立\\)=2{\\(小陽\\)+\\(小鱉\\)}.三上指出\\(d\\)句是對上述3個小立方和1個小立方關系的闡述.對于\\(e\\)句,李潢雖然沒有闡述,但是提到不限于廣、袤、高各二尺,任何情況都成立同樣的關系.他還指明\\(f\\)句將方二尺之物二分,做成方一尺之物,揭示了關鍵.之后,他以此類推,對于所得的小陽馬和小鱉臑,繼續二分其廣袤高,求得與前面同樣的關系.他把前面得到的小立方、小陽馬、小鱉臑……分別記為立1、陽1、鱉1……,接下來得到的記為立2、陽2、鱉2……時,得到如下關系:陽=2立1+2陽1,鱉=立1+2鱉1,陽1=2立2+2陽2,鱉1=立2+2鱉2,……他指出,如此無限繼續下去便可得出結果.因為余數逐漸變小,不是發散的\\(數列\\),因此可以用算式表示為【公式1】
三上由此得知陽馬是鱉臑體積的二倍.他指出注文中有“四分之三”的說法,依據上面的關系,陽馬、鱉臑的四分之三分別是2個小立方和1個小立方的關系.他還指出上面所記是試著進行代數化演算,無限等比級數也做了代數化處理,但是,不一定必須去做代數演算,也可按下面的推論得出,于是他又給出第二種解說.\\(2\\)大陽馬由2個小立方和2個小陽馬構成,大鱉臑是1個小立方和2個小鱉臑構成.這樣,只是立方構成的部分是二比一的比例.接著小陽馬和小鱉臑仍然有同樣的關系.所以前面的小立方加上現在得到的第2個小立方,立方和構成的部分仍然是二比一,余數是個數相同的小陽馬和小鱉臑.此推論如此反復,余數逐漸變小以至無形.所以是二與一之比.三上認為無論如何使用無限等比級數之事沒變.他認為\\(f\\)句闡述了等比級數的使用,其中提到的“半之彌細.至細曰微.微則無形.由是言之.安取余哉”便是極限的應用.他還指出“安取余數哉.而求窮之者……”是傳抄錯誤.三上認為到了算定其極限,有“謂以情推,不用籌算”,由此他判定并不是進行了如上述第一種解釋的代數演算,而是從第二種解釋中推斷出來的.他雖然給出兩種解讀,但是從三上行文來看,我們認為他傾向于第2種解讀.
因為三上說,“沒有明確地嘗試如上所記的代數演算,是如第二種解釋得到的推論”.三上義夫的兩種解釋的主要區別是第1種使用了代數演算,第2種是“謂以情推,不用籌算”.在第1種解釋中,他一開始提到赤黑兩塹堵合成1個小立方,但是從第1種解釋后面運用的代數運算和第2種解釋來看,他實際上都是將同色塹堵進行了合并,按照三度相等的情況進行的證明.三上多次提到李潢的解說,指出他雖然沒有對“雖方隨棊改,而故有常然之勢也”進行解釋,但是李潢說了不僅是廣、袤、高各二尺,任何情況都有同樣的關系成立.
由此可見,三上義夫注意到三度有可能不等的情況.但通其文而觀之,是按照三度相等補圖和解說的.對于\\(g\\)句,三上義夫指出雖然鱉臑和陽馬形狀、長短不定,但是不根據鱉臑就無法求出陽馬之體積,沒有陽馬就無法求出錐、亭之體積,鱉臑、陽馬是“功實之主”.他認為這個推論是最基礎、最重要的.此外,他指出劉徽的商功注當中有如上所述使用無限等比級數證明體積的嘗試,劉徽闡述的這個算法很符合邏輯.
3、華道安的研究以及他對三上研究的某些重復這一問題在近50年后的1979年,才由丹麥學者華道安\\(D.B.Wagner\\)在文獻中重新提出.華道安也正確給出了陽馬和鱉臑的分割圖,指出這個公式旨在驗證一般情況,但是論述的卻是三度相等的情況,讀者有必要延伸討論下一般情況.之后,該文分別對三度相等和三度不等的情況進行了討論.他說“把紅色塹堵拼合在一起可以形成一個紅色立方,把黑色塹堵放在一起形成一個黑色立方.在一般的情況下,這些塹堵不能拼合.但是,在每種情況下,兩個塹堵的體積和都等于一個長寬高均為原來塹堵\\(陽馬和鱉臑拼合的大塹堵\\)長度一半的立體的體積”.他對特殊情況和一般情況分別討論了在四分之三的體積中紅棊和黑棊的體積比為1∶2.對于余下的部分,他指出用二等分其長寬高,又可得知其中的四分之三有此比例.窮盡這個推算過程便可證明.由于華道安沒有注意到文,導致有些工作實際上做了重復研究.但他沒有停留于此,對陽馬術劉徽注三度不等情況的引申討論是對這一問題的延展.此外,華道安還特別提到了德恩的工作,指出德恩1900年證明了必須使用求極限的方法來證明錐體的體積.他指出,劉徽雖然對極限的概念理解上存在困難,但是事實上已經使用了一個極限的過程.他對劉徽工作的評價很客觀.我國數學史家、《九章算術》研究權威郭書春先生曾比較客觀地提到過華道安和三上的工作.他說自己在1979年夏末攻讀到商功章陽馬術劉徽注時,對其極限過程也弄不明白,但是,經過多次用實物分割拼合,校補了幾個字,到11月份,終于明白了其極限過程.在同年12月從李文林那得知丹麥華道安已解決了陽馬術劉徽注,發表在《國際數學史雜志》1979年第6期上.于是郭書春到北京圖書館查閱華道安的文章.關于三上,郭書春提到:“三上義夫的工作發表于30年代,但一直未引起李、錢二老和中國數學史界的注意.我不懂日文,當時對日文研究文獻關注不夠.后來看到三上義夫的文章.”
由此可見,我國學者最早關注到的是華道安的工作,而不是三上的工作.文獻一方面將陽馬術劉徽注的術文解釋清楚,指出其中的極限思想和方法;另一方面在一定程度上使三上的工作引起我國學者的注意.華道安在該篇文章的參考文獻中列有三上的《中日數學發達史》,此外在文末注解第1條中也提到:“用西方語言所寫的著作中以下幾部是最好的:李倍始[1973];尤什凱維奇[1964];李約瑟[1959];三上義夫.目前最好的著作是錢寶琮[1964].”我國學者注意到三上義夫的工作或許與此有關.
4、國內近代學者的研究與三上的影響
1963年,錢寶琮對陽馬術劉徽注的研究主要體現在?？狈矫?與李潢?？钡赲\(1\\)條相同,指出各本俱訛作“各高”,依戴震改正,作“高各”;與李潢?？钡赲\(2\\)條相同,指出各本俱作“兩端”,依殿校本改作“兩棋”;與李潢?？钡赲\(3\\)條相同,校作“錐亭之類”,他同時指出“類”殿本作“數”.對于\\(f\\)句李潢說“‘按余數具而可知者’至‘安取余哉’疑文有錯誤,不敢強為之說”,錢校本未敢改動,說“今悉仍舊貫,未予?？薄?
此外,\\(f\\)句“謂以情推”與李潢?？毕嗤?同時指出“情”,南宋本作“精”,此從殿本.由上可見,錢寶琮與李潢一樣,在?？狈矫嫔杏袔讉€重要之處沒有校訂出來,對李潢存疑之處錢寶琮將其作為一個未解決的問題遺留下來.這說明錢寶琮當時也未看懂陽馬術劉徽注.郭書春在1980年初也重新考察了陽馬術劉徽注.郭書春指出,“清李潢未看懂這個證明,疑‘按余數具而可知者’以下有脫誤.日本學者三上義夫1934年弄懂了這個過程,提出了兩種拼合解釋,一如本文所述\\(陽馬的兩小塹堵分別與鱉臑的兩小塹堵拼合\\),一是陽馬中兩小塹堵相拼合,鱉臑中兩小塹堵相拼合,他傾向于后者.三上的解釋未引起后人重視.錢寶琮仍引用李潢之說.丹麥華道安重新考察了這個問題,并作?？?提出了三上所傾向的拼合方法.
郭書春指出劉徽此段文字本意在于證明三度不等的情形,此時兩小紅塹堵\\(兩小黑塹堵\\)并不全等,是無法拼合在一起的.劉徽使用了特殊的棊大約是受了案頭所使用的棊的限制.郭書春對“雖方隨棊改,而故有常然之勢也”進行了論證,討論了華道安提出的一般情況,延伸和發展了這一問題.白尚恕也研究過此問題,他撰寫的《<九章算數>與劉徽的幾何理論.白尚恕認為劉徽“驗之以棊”是用三度相等的陽馬與鱉臑推導,同時指出即使陽馬與鱉臑的三度有所變化,劉徽的論說方法并不失其一般性.白尚恕與郭書春在驗證三度不等時拼合小立方體的方法是一致的.此后,白尚恕也用與三上義夫同樣的代數運算方法對三度不等的情況進行了論證,最后求極限得出陽馬與鱉臑體積比為2∶1.
顯然,白尚恕受到三上義夫的影響.李迪在討論劉徽在幾何方面的貢獻涉及陽馬和鱉臑時,應用了李儼的觀點:對于等高的陽馬和鱉臑兩種立體,劉徽也進行了類似研究.他認為用平面去截一個立方體分解出來的兩種立體時,如果截面的面積之比為2∶1,那么它們的體積之比也是2∶1.他指出,劉徽在體積研究中用到了極限觀念.李迪等的《〈九章算術〉在國外》.文中特別提到:“在三上義夫的著名的博士論文中,曾用好幾節的篇幅論述劉徽的工作……在第二十九節中,三上義夫認為劉徽的方錐算法中包括‘無限等比級數關系’,在這里再一次提到劉徽的極限思想,發現劉徽關于斜解一個長方體所得陽馬與鱉臑的體積之比為二比一,還特別指出劉徽所說‘謂以情推,不用籌算’這句非常重要的話……綜上所述,可見三上義夫對《九章算術》和劉徽注的研究取得許多很好的成果,貢獻是相當大的.”
沈康身在《九章算術導讀》中也參考了文獻.他指出“由于插圖久佚,本題劉注很難理解,日本三上義夫論文共30節,計168頁.其中第29節《魏劉徽方錐證明》對上述劉注補圖并解釋,借助于《原本》對三棱錐分割方法把劉注講解清楚.……三上論文發表近半個世紀之后,丹麥漢學家華道安對之作了與三上相同的疏注.20世紀80年代以來我國數學界都認為對劉注作如此理解是合適的”.沈康身的解釋是將紅棊與黑棊拼成的長寬高各為2尺的大塹堵的長寬高各自等分,紅塹堵和黑塹堵各自拼成立方體.
同時,他指出劉徽注認為長寬高各不相等的情況做類似分割,按法截出的鱉臑和陽馬的體積關系仍成立.之后,他用類似于三上義夫的代數運算方法對三度不等的情況中陽馬和鱉臑的體積比進行了證明.李繼閔對劉徽原理也進行了研究.他不同于別人的地方,是把“高二尺,方二尺,每二分鱉臑則一陽馬也”校改為“高一尺,方二尺,每二分鱉臑則一陽馬也”.他是將原來的黑陽馬和赤鱉臑構成的赤黑大塹堵上下兩層分離開來,然后通過翻轉,將上層的赤塹堵和下層的黑塹堵拼接,其余部分拼接,則赤黑大塹堵整體轉化成一個“高一尺,方二尺”的長方體.他也特別指出,劉注雖用的標準棊,但這種分割與拼合方法對于任意三度不等的情形都適用.李繼閔關于劉徽用極限觀點來論證的解說與三上義夫的第2種解說基本一致.
5 、三上義夫對陽馬術劉徽注研究的意義和影響
首先,三上對李潢、錢寶琮未能全部弄清的“陽馬術劉徽注”術文最早給出了基本正確、全面的解讀,他的研究成果比華道安和我國學者早了近半個世紀.三上的名字是通過華道安引起我國學者關注的,進而他的研究成果才被我國數學史家所重視,并且得到認可和發展.其次,三上最早將“陽馬術劉徽注”中的極限思想和方法進行論證,這在《九章算術》研究史上實屬首次.從現在的認識來看,盡管三上的工作存在一些不足和錯誤,但這些成果代表了20世紀前期有關《九章算術》及其劉徽注研究的最高成就,占有特別重要的地位.最后,三上的研究揭示出“陽馬術劉徽注”已經用極限方法論證陽馬和鱉臑體積比為2∶1以及由鱉臑、陽馬可以推求錐、亭的體積.馬克斯·德恩\\(Max Dehn\\)在1900年論證必須利用求極限的方法證明四面體的體積,而劉徽在推求錐體體積時已經使用了極限方法,這說明劉徽在1 600多年前就取得了重大進展.
參考文獻:
[1]包羽.三上義夫博士論文之研究 [D].呼和浩特:內蒙古師范大學科學技術史研究院,1998.
[2]劉秋華,郭金彬.三上義夫的中算史研究及其影響 [J].上海交通大學學報:哲學社會科學版,2008\\(6\\): 47-51.
[3]李潢.九章算術細草圖說 [M]//郭書春.科學技術典籍通匯:數學卷四.鄭州:河南教育出版社,1993:947-1195.
[4]郭書春.《九章算術細草圖說》提要 [C]// 郭書春.科學技術典籍通匯:數學卷四.鄭州:河南教育出版社,1993:945-946.
[5]郭書春.匯?！毒耪滤阈g》[M].沈陽:遼寧教育出版社,1990.
[6]三上義夫.關孝和の業績と京坂の算家并に支那の算法との關系及び比較 [J].東洋學報,1932,21:68-74.
