近年來，PISA、TIMSS、IAEP等國際數學教育研究結果顯示，中美兩國學生的數學成績及數學能力存在較大差異，這與中美兩國數學能力目標的設置有密切關系。中美兩國數學教育都在不斷改革和發展中，從兩國近六十余年的歷史演進來看，中國以三大能力為基礎，不斷拓寬能力范疇，數學能力目標具有系統性和連續性：運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力是中國歷史上根深蒂固的基本數學能力，與問題解決能力、推理能力、數學表達和交流能力構成當前中國數學能力框架體系；美國以問題解決能力為核心，不同時期能力導向各異，數學能力目標具有波動性和跳躍性：問題解決、數學推理、數學聯系、數學交流、數學表達能力構成當前美國數學能力框架體系。六十余年來，中美兩國數學能力目標有不斷趨近的趨勢，但中美學生數學能力的差異可能會長期存在。了解中美兩國學生數學能力目標設置的差異，探求其根源，批判地借鑒和吸收美國初中學生數學能力目標的合理之處，認識其不足，對我國初中學生數學能力培養目標的制定有一定的啟示。

一、中美兩國初中學生數學能力目標整體范疇的對比。

以中美兩國現行的數學課程標準為文本依據，比較中美初中學生數學能力目標的整體范疇和具體設置。其中，中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“中國《標準》”）由中華人民共和國教育部制定，是我國義務教育的綱領性文件；《美國學校數學教育的原則和標準》（以下簡稱“美國《原則和標準》”）由美國國家數學教師理事會 （NCTM） 于 2000 年 制定并頒布，是各州制定各自標準和學校開展數學教育的指導性文件。

（一） 能力目標均以“內隱”形式出現。

中國和美國均未在課程標準中明確提出初中學生的數學能力目標，數學能力均以“內隱”的形式蘊含在標準之中。其中，中國《標準》以“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”的內容標準為主，通過總目標和學段目標中的知識技能、數學思考、問題解決、情感態度等滲透數學能力目標；美國《原則和標準》的內容標準和過程標準并重，過程標準包括問題解決、推理與證明、交流、關聯、表征，體現了在獲得和應用數學知識方法上的要求，數學能力目標與五個過程標準相對應。美國數學能力目標盡管同樣“內隱”,但相對中國模糊的提法要更為明確。

（二） 能力目標范疇設置存在區別。

中美兩國相同的初中學生數學能力目標是：問題解決能力、推理能力、數學表達和交流能力等，不同的是：僅在中國提及的有廣義的運算能力（含數感、符號意識、運算能力、數據分析能力）、思維能力 （含抽象思維能力和形象思維能力）、空間觀念 （含幾何直觀），僅在美國提及的有數學關聯能力和數學表征能力。

二、中美兩國初中學生數學能力目標具體設置的對比。

（一） 相近能力目標的對比分析。

1. 問題解決能力是學生發展的關鍵能力。

第一，中美兩國初中學生問題解決能力目標的相同之處是：①通過問題解決過程加深對數學概念的理解；②注重分析和解決日常生活中的問題；③注重問題解決中不同方法的運用；④問題解決過程包括反思環節。

第二，中美兩國初中學生問題解決能力目標的不同之處是：①美國數學課程整體上以問題解決為基礎，問題解決是學生數學學習的核心；②美國問題解決能力培養的首要目的是，“在遇到不熟悉的問題時知道該做什么”[1],培養學生善于思考的習慣；③中國針對當前學生數學能力的薄弱提出發現和提出問題的能力；④美國認為解決概率、統計、幾何和有理數的綜合問題比解決生活中的問題更為復雜；⑤美國通過問題解決培養學生檢查自己思維的習慣，認識自己的優勢和不足；⑥美國提出運用計算機和圖形計算器解決復雜問題；⑦美國強調問題的設計對激發學生興趣的作用和價值，中國還未將問題解決與學生興趣培養建立起更為緊密的聯系。

2.推理能力均包含合情推理和演繹推理。

第一，中美兩國初中學生推理能力目標的相同之處是：①重視推理能力；②包含推理和證明兩部分，推理是發現規律作出猜想，證明是檢驗猜想證明結論；③推理能力包括合情推理和演繹推理，合情推理用于探索思路發現結論，演繹推理用于檢驗規律證明結論。

第二，中美兩國初中學生推理能力目標的不同之處是：①提出的時間起點不同：中國邏輯推理能力的萌芽自 1952 年第一個中學數學教學大綱提出，到 2001 年演變為推理能力，增加了合情推理，至今已有六十余年，而美國推理與證明能力在1989年首次提出，至今已有二十余年；②美國注重發現和探究能力；③中國合情推理重在歸納與類比，美國重在歸納，且學生需了解歸納的可能性及不足；④中國明確提出合情推理和演繹推理的關系；⑤中國強調個人活動發展推理能力，美國則強調團體交流發展該能力；⑥美國注重檢驗推理的可靠性，即證明的依據是否可以接受、是否正確、是否完整；⑦中國重視通過幾何問題中作圖、證明、計算的訓練培養推理能力，但中國學生反證能力不強，而美國很重視反證法的應用，提倡學生辯論和質疑。

3.重視與自我和他人的數學表達和交流能力。

第一，中美兩國初中學生數學表達與交流能力目標的相同之處是：①涉及學生與同伴、教師或其他人數學思維的交流互動；②包括分析和評價他人的思考方式、策略及結論的能力。

第二，中美兩國初中學生數學表達與交流能力目標的不同之處是：①中國對數學交流能力的兩種類型--自我交流和他人交流都比較重視，對自我交流的重視由來已久，強調自我思考和反省，與他人交流能力目標在近十年才開始關注，而美國近四十年都注重學生與他人交流，提倡合作互動，但未提及自我交流能力；②美國對數學表達和交流能力要求明確，認識深刻，而中國并未將其看作數學教育中的重要組成部分；③能力要求有所區別：中國要求“有條理、清晰地表達”[2],美國要求“精確地表達”[3],中國注重條理性，美國注重準確性；④美國對數學表達和交流能力的要求考慮了不同年級學生的年齡特點和心理特征。

（二） 不同能力目標的對比分析。

1. 中國以運算能力、思維能力和空間觀念為基本能力。

（1） 含數感、符號意識、數據分析觀念的運算能力內涵不斷豐富。

中國六十余年來非常注重運算能力，且運算能力的內涵不斷擴充。廣義的運算能力包括數感、符號意識和數據分析觀念，注重培養學生在數量關系、運算結果估計等方面的感悟，要求學生能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律，根據法則和運算律正確地運算。美國自 1950 年至今的六十余年間，只在20世紀70年代初期“回到基礎 （Back to Basis） ”運動的主旨思想影響下，將數學能力的培養重點轉向讀、寫、算，注重再現性而非創造性的基本能力，其中就包括了數學運算能力。在此之后，美國沒有再將運算能力作為一個獨立能力明確提出。

（2） 增加形象思維和創造性思維作為思維能力目標的重要組成。

近四十年來，中國對思維能力的重視程度一直較高，且由單純培養學生的邏輯思維能力轉變為重視學生的抽象思維、形象思維和創造性思維等綜合的思維能力，要求學生體會數學的基本思想和思維方式，運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會和解決問題。

美國并未將思維能力作為單獨目標提出，但大量現實、情境化的案例顯示：美國更加重視形象思維能力，圖形、文字、實物多于符號，符號化和形式化不及中國，對抽象思維能力的重視不足。美國認為形象思維能夠促進抽象思維的自然形成。然而事實上，具象化的表征和操作只能對培養抽象思維起到輔助作用。思維能力應是從具體到抽象、從思維的低層次向高層次發展。數學是鍛煉學生思維能力的最好載體，過分關注形象思維的培養，甚至重于對抽象思維的培養，可能妨礙學生思維水平的提升?！敖^大多數美國學生到8或9年級才學習代數，對算術到代數的過渡感到困難。其國內和國際評估（NAEP,TIMSS） 結果不理想，需要從更低年級開始發展學生的抽象思維能力”[4].

（3） 發展學生的空間觀念和幾何直觀等空間想象能力。

從 1952 年到 2011 年，中國由空間想象能力轉變為空間觀念和幾何直觀，邊界更清晰?？臻g觀念主要是指“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等”;幾何直觀主要是指“利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果”[5].

2. 美國重視數學關聯能力和數學表征能力。

（1）認識并應用數學觀念間的相互聯系美國數學關聯能力目標是，“培養學生認識并應用數學觀念間的聯系”,“理解數學觀念形成的整體”,“將數學應用于數學以外的情境”[6].美國認為，當學生能將數學觀念聯系在一起時，他們的理解會深刻而且牢固，會從中發現數學內容間的聯系、數學和其他學科的關聯。初中學生應認識到數學是一門包含觀念相互關聯的學科，應經常問自己這樣的問題：“這一內容與我以前學過的內容有什么類似的地方？”當學生形成了數學是相互關聯的整體觀念后，他們將數學知識、數學技能、數學方法與實際應用結合起來的可能性就更大。

（2）強調多種表征形式的重要性。

美國要求學生能夠“創造和利用各種數學表征來組織、記錄和交流數學觀念，選擇、應用和互換各種數學表征方法解決問題，應用表征模擬并解釋物理的、社會的和數學中的現象”[7].美國認為，表征數學知識的方式對于人們如何理解和應用這些知識至關重要。美國的數學表征強調多種表征的重要性，包括實物操作、圖、表、圖像、文字、符號化等形式。美國學生與中國學生在認知表征上的差異較大，中國學生在符號表征上遠比美國同齡學生要好。

三、中美兩國初中學生數學能力目標差異原因探析。

中美兩國數學能力目標的差異根源在于中美兩國具有不同的文化傳統和教育思想。中國五千年的文化積淀，以儒家文化為主導，文化傳承穩定性強，文化構成相對單一，外來文化的影響相對較小。美國是有兩百年歷史的移民國家，短時間內發展為政治經濟強國，文化的傳承性較小，不同種族的文化交融性很強，合作與交流在美國文化傳承中的作用遠大于中國。美國的“改造自然”與中國的“順其自然”的認知世界方式，使得美國注重通過客觀分析、實證調查、科學研究培養學生的科學精神和創新能力，而中國注重人對自然的有機適應，對創新能力重視不足。中國文化在于求人生之道，美國文化在于求事物之理。中國文化的內傾精神有助于人的修身自省，美國文化的外傾精神有助于科學的系統發展。由此引發的差異根源具體反映在思維方式、教育體制及目標、教育理念、數學文化及數學教育價值觀等方面。

（一） 思維方式方面。

1. 中國注重數學的聯系性，美國更看重數學的本質屬性。

中國思維方式的聯系性認為，世界萬事萬物是緊密聯系在一起的，沒有任何事物可以脫離其他事物而獨立存在；看問題時要將其放入一個與之相聯系的環境或事物中去，才能真正理解和把握這個事物。美國思維方式的物體本性則更看重事物本身，即事物的固有屬性和特征。中國教師普遍認為數學知識是相互聯系的，美國教師由于對基礎知識的理解不夠深刻，因而可能看不到數學知識之間的本質聯系。部分美國教師甚至認為基礎的數學知識是一些事實和法則的任意組合，只要依照一系列的程序，就可以按部就班地獲得答案。因此，中國歷來注重數學內容之間的聯系，要求學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系”[8].美國對數學的認識由“固定不變”逐漸轉變為“相互關聯”,認為“數學并不是互不關聯的科目和固定不變的簡單綜合，盡管人們通常用此種方法來劃分和介紹”[9],并將數學關聯能力作為學生的一個重要數學能力單獨提出。

2. 中國從整體上理解數學，美國偏重數學能力的結構層次。

中國以“天人合一”的整體思維為主導，傾向于將事物的各種屬性、方面、特征等結合起來，得到一個完整的認識，通過整體理解局部，強調對立中的統一。美國以“天人相分”的分析思維為主導，傾向于將一個完整的對象分解為各組成部分，逐一研究，通過局部認識整體，強調統一中的對立。因此，中國要求學生從整體上理解數學，特別注重圍繞運算能力、空間觀念、推理能力、問題解決能力、思維能力等數學能力整體設計教學內容，體現數學學習的整體性。美國提出五個內容標準體現數學知識，五個過程標準反映數學能力，結構性很強，體現了美國分析思維的特點。

3. 中國以曲線方式迂回解決和表達問題，美國以直線方式直入主題。

中國看待世界是圓的，以曲線式思維為主；美國看待世界是線性的，以直線式思維為主。在解決問題的方式上，中國主要是圍繞某個中心問題迂回靠近，美國則是直接切入主題。在交流方式上，中國講究委婉含蓄，不言自明，強調隱喻；美國注重有話直說，直抒胸臆，強調直白。因此，中國對學生數學能力目標的培養體現螺旋上升的原則，在目標的深度和廣度上曲線式發展，在運算能力、空間觀念、思維能力、問題解決能力、數學表達和交流能力等目標均涉及關注“變化”.中國數學表達和交流能力目標要求學生“能較好地理解他人的思考方法和結論，能針對他人所提的問題進行反思，初步形成評價與反思的意識”[10],對學生數學表達和交流方式的要求比較委婉。而美國要求“學生要與教師經常性地討論解題過程”、“將數學論證的聽眾擴大到教師和同學以外，并使其信服”、“解釋猜想的依據”、“分析和評價他人的數學思維”、“精確地表達數學觀點”,[11]對學生數學表達和交流能力的要求高而且方式直接。

（二） 教育體制及目標方面。

1. 中國提出的數學能力目標是基本要求，而美國是最高期望。

中國對學生數學能力目標的要求“僅規定學生在相應學段應該達到的基本水平”[12],是對所有學生最基本的要求。而美國是“對全體學生寄以高度期望并提供有力支持”[13],即需要努力才能達到的程度。中國的“基本水平”和美國的“最高期望”

與兩國的教育行政管理體制有關。中國教育總體上要求一致，國家教育部的權責較大，省及以下的教育行政部門權責相對較小，數學能力目標注重統一性，提出的是對學生的最低要求；美國是聯邦制的國家，教育體制高度分權，各州、學區有很大的靈活性，目標制定要為各地區更為嚴格的要求留有空間，提出的數學能力目標是對學生的高度期望。

2. 中國數學能力要求和標準普遍高于美國研究發現，中美對問題解決能力、推理能力、數學表達和交流能力要求程度存在差異，中國對數學能力的具體要求普遍高于美國。比如問題解決能力，中國要求初中學生“掌握分析問題和解決問題的方法”,“綜合運用數學知識和方法等解決簡單的實際問題”;[14]美國并未提出“掌握方法”的能力要求，解決問題也并未要求到“綜合運用”的程度。中國初中階段是 7~9 年級，初中學生是 12~14歲，美國初中階段是 6~8 年級，初中學生是 11~13歲；中國初中學生比美國初中學生的年齡稍大一些，這也是中國數學能力的要求程度比美國要高的可能的原因之一。

（三） 教育理念方面。

1. 中國認為基礎是創新的前提，美國強調創新的首要地位。

中國側重基礎，而美國側重創新。中國的數學教育注重教給學生基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本的活動經驗，強調基礎性在學生數學能力培養中的關鍵作用；美國的數學教育注重培養學生的創新意識和能力，鼓勵學生思考并獲得結論，至于結論的正確與否并不重要。中國的數學教育注重訓練，要求學生熟練掌握直至“爐火純青”;美國的數學教育基本上是“點到為止”,學生大致明白是怎么回事即可。中國認為技能是第一位的，然后才談得上創造；美國認為探索是第一位的，然后再發展相關的技能。中國認為“創新”可以表現為“深思熟慮的增添，新的解釋與巧妙的修改”[15],而美國認為“創新需要全新的表述”（H. Stevenson,J. Stingler）[16].按照中國的教育思想，基礎被看作是創新這一更高境界的必要準備和條件。

2. 中國注重知識積累和靜態接受，美國注重能力培養和動態改變。

中國的數學教育長期注重知識的積累，注重培養學生對知識體系的建構和對知識內容的掌握，是對知識的靜態接受；美國的數學教育更注重培養學生運用知識解決問題的能力，注重培養學生對知識的拓展和創新，是對知識的動態改變。從現行的課程標準來看，中國的數學教育目標已不局限于知識與技能的掌握，處理好知識目標、能力目標與情感目標之間的平衡，不顧此失彼，是中國數學教育需要特別注意的問題。

3. 中國學生形成固定一致的解題思維模式，美國學生敢于冒險、試誤和質疑。

中國側重求同思維的培養，注重對知識和權威的尊重和維護，引導學生尋求標準答案或解決問題的最優方法；美國側重求異思維的培養，鼓勵學生有自己的見解，很多問題禁止教師提供唯一正確的答案，注重培養學生的批判性思維。中國學生在解決問題時，不太愿意去“冒險”嘗試或猜測答案，對于沒有思路的問題，很可能跳過去并留下空白；而美國學生往往會試探性地寫一些，即使寫下的東西是不正確的或沒有意義的。在解決問題的方法選擇上，中國學生主要運用學科知識、算術或代數方法；美國則更為多樣，除了算術、代數之外，表格、圖示、描述性說明分析、試誤法等都是可供學生選擇和嘗試的方法。中國過于嚴謹化、程序化和結構化的解題思路，使學生逐漸形成了固定的思維模式，學生不需要太多的思考就可以解決問題，思維趨于一致；美國個人主義的教育理念和開放自由的教學氛圍，使得學生敢問敢想，敢于質疑，思考和解決問題的思維方式更加發散。

4. 中國認為記憶與理解相互促進，美國認為記憶無助于理解。

中國認為，“記憶”與“理解”是相互促進的辯證關系，理解有助于記憶，記憶能加深理解；美國認為，“記憶”與“理解”是相互排斥的對立關系，記憶無助于理解。中國一直重視培養學生的運算能力，重視的并不僅僅是運算的結果和速度，還有通過熟練的運算不斷深化認識，從而達到對數學內容的真正理解，認識程度由“表層結構”過渡到“深層結構”.中國數學教師與美國數學教師相比一個明顯的優點就是，達到了對于數學知識的“深刻理解”（profound understanding），具體體現于知識的深度、廣度和貫通度。

（四） 數學文化及數學教育價值觀方面。

1. 中國數學文化以技藝致用為根本，美國從哲學理性層面理解數學本質。

技藝致用是中國數學文化的根本特征，數學被當作一種“濟世之術”,學會了可以“用世”,天道、頒歷、丈量土地等都需要數學，運算能力、問題解決能力、空間觀念、模型思想等能力目標的設置均與技藝致用的數學文化有關。中國古代數學缺乏在哲學層面的錘煉，學生掌握了數學的內容、思想方法及應用，但缺少數學理性精神和哲學思想的熏陶。理性思辨是美國數學文化的根本特征，沿襲了古希臘借助于數學解釋一切的文化傳統，數學被看作是一種思考世界的哲學理性。美國數學家懷爾德 （R.L.Wilder） 從數學人類學的角度提出了“數學--一種文化體系”的數學哲學觀。美國數學能力目標注重思考能力、探究能力、發現能力和創新能力，旨在通過開拓和發展學生數學的研究能力和創造能力產生具有社會意義和價值的重大成就，是美國數學教育追求科學理性精神的體現。

2. 中國注重抽象的理論理解，美國注重真實的情境應用。

中國的數學教育更注重數學知識、概念、定理、方法等抽象理論，多年來注重邏輯思維能力的培養，數學教學內容比較抽象，近年來開始注重數學知識在其他領域和現實生活中的應用，但應用的情境大部分是虛構而非真實的；美國的數學教育用學生實際生活中會遇到的真實情境為背景，將數學知識、概念融入其中，在解決問題的過程中理解知識和概念。中國數學教育注重的是間接應用型的理論，著力點是對已有理論的理解和應用；美國數學教育的應用以其深厚的數學理論基礎作后盾，并不是在數學課程中加入定理、命題、公式，而是理性的沉淀，著力點是為了真理而應用。

3. 中國將數學的人文價值觀與科學價值觀相互融合，美國以科學價值觀為主。

中國傳統文化注重真、善、美的統一，數學教育價值觀以人文主義為核心價值取向，學生數學能力目標長期以邏輯思維能力為核心。近幾十年來，中國的數學教育逐漸開始從人文主義價值觀向科學主義價值觀轉變，教學內容中增加了大量應用數學知識的案例和情境，數學能力目標增加了問題解決能力、數學表達和交流能力，在培養學生數學能力的同時，對數學情感態度價值觀也非常重視，人文主義與科學主義在中國數學教育中逐漸融合。美國的數學教育價值觀一貫以科學主義為主，認為數學具有巨大的經濟價值，生產力的發展需要大量的數學知識，數學知識和能力的學習成為謀職、就業的必要準備，加強應用教學、提高學生問題解決能力成為美國數學教育中的一個響亮口號，但數學嚴密的邏輯體系等并未在美國受到重視。

四、對我國數學能力目標設置的啟示。

上文以六十余年數學教育的發展為背景，以中國《義務教育數學課程標準（2011 年版）》和美國2000 年《美國學校數學教育的原則和標準》為主體，比較了中美兩國初中學生數學能力目標的歷史演進、現狀特點和差異原因，這些可以為我國數學能力目標的設置提供一些啟示。

（一） 明確提出數學能力目標，建立數學能力標準。

中國數學課程標準以知識為主線，能力為輔線，并未明確提出初中學生的數學能力目標，結構零散，表述模糊。筆者建議深入研究學生數學能力目標，明確提出能力目標的結構、內涵、要求及實施策略，并將其作為獨立的目標體系在數學課程標準中明確地加以清晰闡述。制定與數學能力目標對應的數學能力標準，即達到數學能力目標程度的尺度和準則，并將其作為數學課程標準的一部分，與內容標準并列；對數學能力的各要素作出不同水平的描述，用定性或定量方法刻畫學生應達到數學能力的程度，為評價學生的數學能力提供依據。

（二） 重新思考基礎與創新的關系，為創造性思維提供空間。

建議重新思考基礎與創新的關系，理清創新是必須建立在基礎之上還是處在先于基礎或與基礎同時發展的地位。增加數學發現能力和數學探究能力作為學生數學能力的目標之一，從而培養學生的創新能力和科學精神。中國長久以來缺乏營造培養學生創造性思維的良好環境，需要給學生適當的挑戰，教師要更多地放手，給學生更多思考的空間。

解決問題可不局限于學科知識、代數方法，美國教學案例中的表格、圖示、描述性說明、試誤法等缺乏“數學味兒”的方法同樣可供選擇。

（三） 為學生提供個體構建數學表征的機會，將數學應用于數學以外的情境。

建議為中國學生提供個體構建數學表征的機會，教師一開始就鼓勵學生運用直觀表征或具體操作等自己的策略理解數學，可以是教師教過或沒教過的。隨著學生對數學概念的深入理解，教師再引導學生形成更多概括性的表征和策略，搭建起學生個人表征和通用表征之間的橋梁，從而發展學生對數學的抽象思維和概念性理解，不可過分追求直觀形象表征。數學表征要同時注重結果和過程，同時注重外顯和內隱的表征，并增加將數學應用于數學以外的情境中的機會，如數學與自然科學、社會科學、醫學、金融、商業和日常生活之間的聯系，讓學生有足夠的機會體驗在特殊情境中數學是如何發揮作用的。

（四） 以個性發展為出發點設置數學能力目標，重視求異思維。

中國在共性發展基礎上的能力培養觀念，對學生個性和能力的自由發展產生了一定限制。過于嚴謹化、程序化和結構化的教學內容設計和解題思路，使得學生逐漸形成了固定的思維模式。建議嘗試從個性發展的前提出發研究、設置數學能力目標，從理念上真正調整為以學生為主體，從而培養學生自己的能力而非教師規定好的思路和模式；創設開放自由的教學氛圍，鼓勵學生冒險嘗試，培養學生的發散性和批判性思維。

（五） 合情推理與演繹推理能力并重，不弱化抽象思維能力。

堅持合情推理能力與演繹推理能力并重的原則，注重發展學生推理與證明過程的評價能力，不弱化抽象思維能力。大量的跨文化研究表明，“美國學生的抽象思維能力較差，對數學內容及方法的理解有時僅停留在具體水平上”,“美國數學教師主要依靠模型教具的充分使用幫助學生理解數學內容，并形成抽象思維”.[17]隨之中國出現了一種錯誤的觀念，即弱化長期以來對抽象思維能力的重視，轉而增強對形象思維能力的培養，并以動手操作模型教具作為途徑。然而，事實上，直觀的、具體的、可操作的動手操作僅僅只是教學的一種輔助工具，只能幫助學生理解抽象的數學內容，但不能直接實現學生對數學的真正理解。只有通過思維才能認識到數學內容是具體模型的抽象化，認識到事物的本質。

（六） 深刻認識表達和交流能力的價值，加強學生與他人有效的數學交流。

中國需要深刻認識交流和表達是分享觀點和澄清理解的一種方式，它有助于理解觀點的意義，使學生思維和推理更清晰，更令人信服。學生在與同伴討論時，也會加深自己對數學的理解，并有助于學生發展表達數學思維的語言。培養學生數學表達和交流能力是數學教育的使命之一。盡管中國已經明確提出培養學生學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果的目標，但這一目標還需要加強。中國學生在數學課堂上表現出很大的被動性，需要在不弱化自我交流的前提下強化與他人的交流。經歷與他人共同參與思考問題的過程，向他人表達自己的觀點，相互質疑、辯解并澄清，能夠幫助學生更深入地理解數學。

注釋：

[1][3][6][7][9][11][13] 美國國家數學教師理事會。美國學校數學教育的原則和標準[M].蔡金法，等，譯。北京：人民教育出版社，2004:235、244、249、255、62、58-60、14.

[2][5][8][10][14] 中華人民共和國教育部。義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012:9、6、6、14、14.

[4][17] 蔡金法。中美學生數學學習的系列實證研究--他山之石，何以攻玉[M].北京：教育科學出版社，2007:187、271.

[12] 中華人民共和國教育部。全日制義務教育·數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001:5.

[15][16] 轉引自：鄭毓信。文化視角下的中國數學教育[J].課程·教材·教法，2002,（10）；原文引自：H.Stevenson & J.Stingler.The Learning Gap 一 Why our school are failing and whatwe can learn from Japanese and Chinese Education.Simon& Schuster,1992.

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