數學是各個時代人類文明的標志之一，在河谷文明與早期數學至中世紀近代數學形成之前，經典代數學的核心內容就是方程理論． 其發展的軌跡主要經歷了三個方面的演化，一是歷經了從文字到符號化系統的抽象過程;二是歷經了未知數的次數提高以及知數個數增多，即一元高次方程理論和方程組理論． 三是求解方程方法的演化與技巧研究． 這些問題都為古代數學到近代的發展起到了極重要的推進作用．中國數學從公元前后至公元 14 世紀，先后經歷了兩漢、魏晉南北朝、宋元時期三個發展高峰時期，其中宋元時期的成就，如珠算、天元術、四元術、大衍求一術、四元高次方程等，代表了中國古典數學的最高成就．
1 《九章算術》中的方程術
《九章算術》是算經十書中重要的一部數學專著． 據考證，大約成書于東漢初期．“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則;一次方程組問題，解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致，這是世界上最早的完整的線性方程組的解法．如方程章第一題\\(見圖 1\\):“今有上禾\\(指上等稻子\\)三秉\\(指捆\\)，中禾二秉，下禾一秉，實\\(指谷子\\)三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗． 問上、中、下禾實一秉各幾何?”【圖1略】
這一題若按現代的記法，設 x、y、z 依次為上、中、下禾各一秉的谷子數，則上述問題是求解三元一次方程組:【1-3】
《九章算術》用算籌列式演算:“方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方;中、左行列如右方;以右行上禾彳扁乘\\(即遍乘\\)中行而以直除\\(這里“除”是減，“直除”即連續相減． \\)……”． 將籌算數碼轉為阿拉伯數字，按意演算，則為:【公式】
“答曰:上禾一秉，九斗四分斗之一\\(914斗\\);中禾一秉，四斗四分斗之一\\(414斗\\);下禾一秉，二斗四分斗之三\\(234斗\\)”．
2 《孫子算經》《數書九章》與物不知數問題
《孫子算經》為算經十書之一，是公元四世紀左右的數學著作，作者不詳． 現傳本分上、中、下三卷． 上卷敘述度量衡制度、籌算記數和籌算乘除算法;中卷舉例說明籌算分數算法、開平方和面積、體積計算;下卷是各種應用問題． 中、下兩卷共有各類算題 64 道．《孫子算經》下卷“物不知數”題說:今有物，不知其數． 三三數之，剩二;五五數之，剩三;七七數之，剩二．問:物幾何? 答曰:二十三．顯然，這相當于求不定方程組 N =3x +2，N =5y +3，N =7z +2，的正整數解 N，或用現代數論符號表示，等價于解下列的一次同余組:N≡2\\(mod3\\)≡3\\(mod5\\)≡2\\(mod7\\)．《孫子算經》題的術文指出解題的方法:三三數之，取數七十，與余數二相乘;五五數之，取數二十一，與余數三相乘;七七數之，取數十五，與余數二相乘． 將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數． 列成算式就是:N = 70 × 3 + 21 × 3 + 15 × 2 － 2 × 105．秦九韶 1247 年完成了數學名著《數書九章》，這部中世紀的數學杰作，在許多方面都有創造，其中求解一次同余組的“大衍求一術”，是在《孫子算經》中“物不知數”問題基礎上，進一步研究，提出了“大衍求一術”，數論中稱為“中國剩余定理”，也稱“孫子定理”． 經我國歷代數學家研究發展成完整嚴謹的理論與方法．比西方 1801 年著名數學家高斯\\(Gauss，1777-1855 年\\)建立的同余理論早 554 年． 秦九韶的任意次方程的數值解領先霍納 572 年，秦九韶不僅為中國贏得巨大的榮譽，也為世界數學作出了杰出貢獻．
3 《張丘建算經》的百錢百雞
《張丘建算經》成書于公元 466-485 年間，張丘建屬于北魏人． 該書共三卷 92 題，包括測量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程、利息等各方面的計算問題．《張丘建算經》的最后一題是聞名于世的“百雞問題”，即:“今有雞翁一，直\\(值\\)錢五;雞母一，直錢三;雞雛三，直錢一． 凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何?”書中給出三組解:\\(1\\)雞翁 4，雞母 18，雞雛 78;\\(2\\)雞翁 8，雞母 11，雞雛 81;\\(3\\)雞翁 12，雞母 4，雞雛 84．這是一個不定方程問題． 設雞翁、雞母、雞雛的只數分別為 x，y，z，則可列出方程組:【公式2】
其解法則為:“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益\\(增加\\)三，即得． ”【公式3】
4 宋元時期的天元術與四元術
4． 1 天元術
宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代王孝通運用幾何方法列三次方程，往往需要高超的數學技巧、復雜的推導和大量的文字說明，這是一件相當困難的工作． 隨著宋代創立的增乘開方法的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對于列方程方法的研究，于是，出現了中國數學的又一項杰出創造———天元術．在李冶的《測圓海鏡》\\(公元 1248 年\\)、《益古演段》\\(公元 1259 年\\)首先進行了系統闡述，是符號代數的嘗試，在數學史上具有里程碑意義．用天元術列方程的方法是:首先“立天元一為某某”，就是現在的設未知數 x，一次冪系數的右旁記一“元”字，有時在常數右旁記一“太”字;其余各項按未知數的冪次相對于一次項上下遞增或遞減;系數是負數的，在系數的個位數碼上加一斜劃． 如圖 2．表示方程:25x2+ 280x － 6905 = 0．【圖.略】
4． 2 四元術
把天元術的原理應用于聯立方程組，先后產生了二元術、三元術和四元術． 這是十三世紀中葉到十四世紀初我國宋元時期數學家又一輝煌成就． 現有傳本的朱世杰\\(約1260-1320 年\\)的《四元玉鑒》就是一部杰出的四元術著作．所謂四元術，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程組． 列式的方法是:在常數右側記一“太”字，天、地、人、物四元和它們的乘冪的系數分別列于“太”字的下、左、右、上，相鄰兩未知數和它們的乘冪的積的系數記入相應的兩行相交的位置上，不相鄰的幾個未知數的積的系數記入相應的夾縫中． 我們用 x、y、z、u 分別表示天、地、人、物四元，那么它們在四元式中的位置如下圖 3 所示:【圖略】
圖 4 表示方程 － x2+ 3xy － 2xz + x － y = 0四元消法是朱世杰方程理論的核心． 他通過方程組中不同方程的配合，采用“剔而消之”、“易位”、“互隱通分”、“內外行乘積”等方法．【公式4】
吳文俊先生指出:“天元術起于宋代而發展到元代，已經發現了解高次聯立方程組的途徑與處理方法．‘八五’期間攀登項目中解多項式方程組的一個主要方法———特征列法，即源自元朱世杰《四元玉鑒》的四元術……”． 吳文俊先生稱所創立的“吳消元法”借鑒了中國古代解方程組的思想，尤其是朱世杰四元術中可機械執行的消元法思想．對前人方程問題的研究與探討，不僅可以追溯數學內容、思想和方法演變、發展過程，而且還從古人的成果中汲取養分，做到古為今用，推陳出新． 我國著名數學家吳文俊先生在拓撲學研究方面取得過杰出成就，其后，他在研究整理古代數學方程理論與方法方面開創了新局面，建立了被譽為“吳方法”的數學機械化方法，成為古為今用的典范，其意義是重大的．
參考文獻:
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［2］ 胡明杰． 四元術的數學基礎［J］． 北京師范大學學報\\(自然科學版\\)，1991，\\(4\\):494-495．
［3］ 劉洪元． 吳消元法與四元術［J］． 遼寧大學學報\\(自然科學版\\)，2004，\\(4\\):130-131．
