近代著名科學家伽利略曾提到“自然這本大書是用數學的語言寫成的?！睌祵W不僅在人類探索宇宙和研究自然的過程中起到了重要的作用,而且作為一種生產工具和認識世界的方法論,在人類社會的不同時期,對社會的發展和進步都起了至關重要的作用。中國最早記載數學史料的是《甲骨文書》,從結繩計數到算術、幾何、再到微積分,都包含了人類共同智慧的結晶。而《九章算術》就是中國古代數學著作中最閃亮的一顆星。
一、《九章算術》對中國古代數學的影響
《九章算術》在漢朝時期著成,但是它所記載的內容可以追溯到公元前7世紀。在書中涉及到了農業、商業、工程、測量、方程解法以及直角三角形的性質等。它是中國古代數學知識的縮影,全書包含246道應用問題,分成九章編寫。分別為:方田———以御田疇界域;栗米———以御交質變易衰分———以御貴賤稟稅少廣———以御積冪方圓商功———以御功程積實均輸———以御遠近勞費盈不足———以御隱雜互見方程———以御錯糅正負勾股———以御高深廣遠在書中,在每個問題之后,不僅給出問題的答案,而且還給出相應的方法。在一部分類似的問題后,又統一對方法加以說明,體現出數學是一個舉一反三的過程。同時,這也反應出數學這門科學是通過對生活中的事物進行觀察、比較、分析、歸納概括后的產物,是源于生活又應用于生活的。
\\(一\\)《九章算術》的內容
《九章算術》第一章\\(方田\\)的內容是求長方形、正方形、圓形等圖形的面積計算公式;第二章\\(粟米\\)的內容是谷物糧食的按比例折換;提出比例算法,稱為今有術;第三章\\(衰分\\)的內容是比例分配問題,并介紹了開平方、開立方的方法,其程序與現今程序基本一致。這是世界上最早的多位數和分數開方法則。它奠定了中國在高次方程數值解法方面長期領先世界的基礎。第四章\\(少廣\\)內容是已知面積、體積,反求其一邊長和徑長等;第五章\\(商功\\)的內容是土石工程、體積計算;除給出了各種立體體積公式外,還有工程分配方法;第六章\\(均輸\\)的內容是合理攤派賦稅;用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法,構成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論。西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法。第七章\\(盈不足\\)專講盈虧問題及其解法;第八章\\(方程\\)的內容可以說是為了研究糧食產量引出的線性方程組及其解法。它所提出的通過系數的矩陣消去法,直到今天還在使用。
這種解法是最早提出最完整的解決線性方程組的方法。第九章\\(勾股\\)中包含兩部分,一部分就是勾股定理———也稱畢達哥拉斯定理。另一部分是根據相似直角三角形的性質,進行高、深、寬、遠的測量方法。
因此,我們可以看出,《九章算術》首先是生活以實際為研究對象,得到的結論是通過實踐中觀察、實驗、分析歸納的結果;其次,它在內容上按照問題來編排,同時有專題講解和基本的理論;最后,在專題講解中,著重邏輯的敘述,更便于研究和應用。
\\(二\\)《九章算術》的影響
《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作;其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創造;“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。在代數方面,《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則;中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯,甚至經過這些地區遠至歐洲?！毒耪滤阈g》成書后直至公元16世紀,中國數學家所編寫的數學方面的著作都是與它同體系的。其中大多數算法典籍都仿效《九章算術》的編寫體例,并且以其中的算法理論作為進一步研究的起點。著名數學家劉徽和祖沖之都給《九章算術》作過注釋,劉徽為《九章算術》作注時說:“周公制禮而有九數,九數之流則《九章》是矣”。并在注釋的過程中展開了自己的研究。另有一些數學家給自己的著作冠以“九章”之名,以表達追隨《九章算術》的意向?！毒耪滤阈g》很早傳到東南亞等國,并且對這些國家的數學發展起了重要的啟迪作用和促進作用?！毒耪滤阈g》由于其內容的基礎性決定了應用的廣泛性,其主要內容深刻說明了數學與現實生活的休戚相關,體現了數學是多元復合體,也體現了數學的合作性與民主性。其成書過程折射出的合作與民主精神也是當代社會不可或缺的?！毒耪滤阈g》對古代中國數學發展的貢獻包括:\\(1\\)多元一次方程的解法,相當于高斯消元法。\\(2\\)開方的計算方法,也反映了古代中國算術的發展。\\(3\\)負數的引入,特別是正負數的加減法則的定義等?！毒耪滤阈g》是先秦至漢代數學的系統總結,對于中國數學的發展有著極為深遠的影響,并且在中國和世界數學史上都占有重要的地位?！毒耪滤阈g》是以社會經濟因素中所反映出的問題來選題的,因此中國傳統數學與實際生活是緊密相連的。而且以后的數學著作也是延續這一思想編著,注重在實際生活中提煉出數學問題,并給出相應的解決方法。
《九章算術》的精髓就是機械化思想,以構造性與機械化為其特色的算法體系。其實,算法就是所謂的“術”,就是方法的意思。我國古代數學以解決實際問題為最終目標,一切從實際問題出發,形成算法,寓理于算,并進一步應用于解決各種實際問題;同時,數學的內容、思想和方法的發展不受理論框架的限制,注重實際效果\\(如負數、無理數的創立\\),并且在內容的表達形式上以歸納體系為主……。
中國古代數學以《九章算術》為核心,并日漸完備,逐漸形成我國古代初等數學體系,不僅影響著世界數學的創造與發展,也為日后我國數學知識體系的不斷完善與發展打下了堅實的基礎。
二、《九章算術》對中國現代數學的影響
《九章算術》流傳的繁榮時期是三國到唐代初期,特別是隋唐時期,不僅把它列為主要的教科書在國內大量流傳,而且也傳到了朝鮮、日本等鄰國。而且早已有人認為印度的幾何學來源于中國和希臘?？梢?《九章算術》不僅對中國數學而且對世界數學的影響都是深遠的。但是到了14世紀中期之后,中國古典數學進入到了低落時期,而西方數學開始蓬勃發展起來。直到16世紀末,西方傳教士將西方數學文化傳入到中國,并且歐幾里得的《幾何原本》的前6卷在17世紀譯成中文,這些都有力地沖擊了中國數學文化的發展。但是當時國內的數學模式仍然延續了《九章算術》的精神,即著重解決實際的應用問題,忽略了對于基本數學概念、定理的探究。中國傳統式數學一直處于實用主義的文化背景下,數學一直被認為是一種工具與手段,并沒有“純數學”的哲學概念。因此直到19世紀,西方傳教士在中國設立學校,中國學生開始接觸西方邏輯體系的數學書,這種情形才稍微有所改變。我國的教育工作者終于意識到中國教育上存在的問題,但是一直到了上世紀60年代初期,我國才開始真正研究教學改革問題。人們認識到學生了解抽象結論的形成是遠遠不夠的,還應該讓學生積極地參與到這個認知過程中。由此將原來的注入式教學轉變為啟發式教學。
\\(一\\)《九章算術》對中國現代數學教學思想的推進
《九章算術》作為“算經十書”之首,它所體現出來的思想方法在很大程度上反映了我國傳統數學的基本思想方法,如開放式的歸納體系、算法化的內容、模型化的方法等等。這些思想方法對于培養學生的數學能力有著重要的意義。
1.數形結合思想
數形結合就是使抽象思維和形象思想相互作用,實現數量關系與圖形性質的相互轉化,將抽象的數學關系和直觀的圖形結合起來研究數學問題。在《九章算術》中,如“方田”、“商功”章的平面圖形和立體圖形的求積問題,都用數的計算,即著重于考察圖形中的數的關系,算出確定的數值。同時,亦用形的直觀來解釋數的算法。在《劉注》中,劉徽“析理以辭,解體以圖”,將數的計算來解決形的研究,證明了書中的很多問題。其中他提出了“令出入相補,各從其類”的出入相補原理,用圖形的分、合、移、補證明了不少數學恒等式,開創了中國古代數學中數形結合的獨特的研究方法。
數形結合的思想在各個領域融會貫通,特別是應用在課堂上,可以給學生留下深刻的印象,有助于發揮思維的整體性。是現代教學最常應用的方法之一。
2.算法化思想
算法是在12世紀出現的,指的是用阿拉伯數字進行算術運算的過程。算法可以理解為有基本運算及規定的運算順序所構成的完整的解題步驟?；蛘呖闯砂凑找笤O計好的有限的確切的計算序列,并且這樣的步驟和序列可以解決一類問題?！毒耪滤阈g》的基本內容就是“術”,其數學理論都是以“術”的形式表示出來的。而這些“術”符合現代算法的一些重要的特征,如可行性、確定性、有窮性、有效性和普遍性等。
“術”是在人們對算籌,尤其是運籌動作的直覺把握的基礎上得出來的:采用某種方法運算,就可得出某種結果,以對運算動作直覺把握的某種信息來保證其正確性。而運籌動作是建立在人的經驗基礎上的,因而通過算籌和運籌動作的直覺把握是在經驗的基礎上實現的。這種直覺把握是一種直覺方法,直覺方法是一種創造性思維方法,它有助于人們在經驗基礎上的創造,這可以說是中國古代數學取得一系列重要成就的原因之一。
3.極限的思想
極限是一個過程量。是描述一個變量在變化過程中,另一個變量得到的最終狀態。極限思想就是用聯系變動的觀點,把所考察的對象看作是某對象在無限變化過程中變化的結果的思想。這個思想貫穿微積分的始終,是微積分的基本思想。在劉暉求圓的面積時,用內接正n邊形的方法,n越大,正n邊形的面積就越接近圓的面積。當n趨向于無窮大時,就可以用正n邊形的面積求出圓的面積了。這里面應用的就是極限的思想。這個思想對于引導我們求所有不規則圖形的面積都是有指導意義的。
4.模型化思想
“數學模型乃是針對或參照某種事物系統的的或數量相依關系,采用形式化數學語言,概括地或近似地表述出來的一種數學結構?！睆膹V義來講,“一切數學概念、數學理論體系、各種數學公式、各種方程式以及公式系列構成的算法系列構成的算法系統等等可稱之為數學模型?！睌祵W模型是為解決數學原型的問題而建立的。
\\(二\\)《九章算術》對于現代數學思想的制約
現代的數學教育是將數學知識系統化。這里所謂的“系統”有兩個含義,第一,按認知規律將數學的知識點由淺入深地按認知的系統展示出來,這個系統著重在心理學、教育學意義上。第二,按數學的內在規律,邏輯地展現數學發展的過程,這個系統是著重在數學的本質特征的推理系統。第三,進入到數學專業,則一門課程就是一個系統,每門課程從集合論上立論,然后按邏輯展開,形成一個完整的數學體系。這個完整的數學系統其實就是一個邏輯演繹系統,從公理到定理到推論,都要嚴格論證。
《九章算術》是以構造性和機械化為算法體系的。注重實際是它最大的特點。它雖然滿足了人們當時社會生產和生活的需要,但是對于知識的根源卻缺乏相應的反思與論證,這就挫傷了人們的創新精神,失去了尋根求底的科學精神。這也是中國古典數學到了明代出現停滯的部分原因。沒有創新就不會有發展?！毒耪滤阈g》是按照問題→歸類→模型化→程序化籌算的過程來解決問題的,這樣就使中國古代數學走上了模式化的道路。實用主義思想,述而不作的研究方法都嚴重制約了中國數學家的思維方式,從而無法突破創新。而西方傳統的數學的程序是:定義→公理→定理。這是由邏輯演繹的思維程序,從對幾何圖形的觀察和歸納得到了公理系統及其定義與命題?！稁缀卧尽酚霉矸ń祵W體系,西方數學的內容主要是證明定理,西方數學是著重推理論證的演繹體系,它的特色是公理化。吳文俊說,中國古代數學根本沒有定理的概念,它的主要內容是四則計算和解方程。中國數學是著重解決各式各樣的問題,著重具體計算的一種算法體系,它的特色是機械化。
這種機械化的思維方式雖然很大程度上促進了數學的發展,但是忽視理論的研究,忽視各種算法之間內部邏輯聯系的研究,加上我國經歷了漫長的封建社會階段,延緩了數學家探索新理論和新思想的步伐。
三、結束語
《九章算術》是中國古代數學的核心,其數學水平是處于當時世界先進行列的,對中華數學文化的發展也起到了十分重要的作用。但隨著社會發展及世界數學文化交流的需要,《九章算術》不能完全滿足生產和生活的需要,于是數學家們就將東西方的數學基礎進行有機的融合。數學的發展歷史,就是東西方數學相互影響和此消彼長的歷史。笛卡爾的數學研究中,經常會出現邏輯與算法相互影響的痕跡,其中,讓幾何問題代數化和借助于機械化手段去解決高次曲線作圖的思想與中算家的做法不無相同。我們大家熟知的微積分,曾經在算法傳統下被主宰數年,直到19世紀才被邏輯傳統的數學家加以重建。因此,數學的發展中,算法與邏輯相互補充,使得數學符號體系的完善、抽象概念的形成,嚴密邏輯體系的建立,各項數學分支如雨后春筍般破土而出,使數學發展步入新的繁榮時期。
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