在中國傳統文化中，有“《周易》是史”的重要觀點。對《周易》的研究，目前學界主要集中在對其哲理的研究，而較少涉及對其數理的研究。本文試圖通過對《周易》與中國傳統數學關系的解析，闡明《周易》所蘊含的數學思想對傳承中國傳統文化的積極意義。
一、從“《周易》是史”的觀點解析《周易》
在中國傳統文化中，有“《周易》是史”的重要觀點，認為《周易》經、傳乃至卦、爻符號，都是一種歷史記錄，包含歷史記敘或歷史意義?！痘茨献印肪统帧兑住窞樯瞎攀返目捶?。四部分類法始于晉代，它打破了原先史書隸屬于經的觀念; 隋代王通提出了“三經\\( 《書》《詩》《春秋》\\) 皆史”之說; 到了宋代，程頤提出了“九經\\( 其中有《周易》\\) 皆史”之說，南宋李光《讀易詳說》、楊萬里《誠齋易傳》
也提出以史證易; 元、明兩代，有“五經皆史”和“六經皆史”之說，從王陽明開始，則明言《易經》是史; 清代章學誠提出“六經皆史”的理論。他在《文史通義》\\( 1832\\) 中開宗明義地指出: “《六經》皆史也。古人不著書，古人未嘗離事而言理，《六經》皆先王之政典也?！?/p>
章學誠“六經皆史”的真正含義是建立在他對經這一本義理解的基礎之上: “《易》曰: ‘上古結繩而治，后世圣人易之以書契，百官以治，萬民以察’。夫為治為察，所以宣幽隱而達形名，布政教而齊法度也，未有以文字為一家私言者也?！兑住吩? ‘云雷屯，君子以經綸’。經論之言綱紀世宙之謂也?！洺醪粸樽鸱Q，義取經綸為世法耳，六藝皆周公之政典，故立為經?！?/p>
章學誠所理解的經之本義，既不同于后人所說的詩、書、禮、易、樂、春秋這傳統的六經，也不同于以文字為一家私言的經書，而是指以“治”為核心的“經綸”。也就是說，《六經》并非古代圣人立言垂教后世的空言，而是當時統治者治理國家大事以及所制定的各種典章制度的記錄。
經的本義是指織布的縱線，與“緯”相對，東漢許慎《說文解字·系部》曰: “經，織也。從糸，巠聲?！鼻宥斡癫米⒃? “織之縱絲謂之經。必先有經，而后有緯，是故三綱、五常、六藝謂之天地之常經?！弊钤绲摹敖洝弊謱懽鳌皫y”，見于周代青銅銘文。大盂鼎、毛公鼎、晉姜鼎均有“巠”字; 虢季子白盤、齊陳曼簠、叔夷鐘均有“經”字。西周早期器大盂鼎有“敬雍德巠”，晚期器毛公鼎有“肇巠先王令”，東周器晉姜鼎有“巠雍明德”。在郭沫若看來，“經”的初字應為“巠”，所以“經”應是后起字。
他認為: “大盂鼎‘敬雍德巠’，毛公鼎‘肇巠先王令’，均因乃用巠為經。余意蓋經之初字也。觀其字形，前鼎作巠，后鼎作巠，均像織機之縱線形。從系作之經，字之稍后起者也?！墩f文》分巠、經為二字，以巠屬于川部，云‘巠水脈也，從川在一下，一地也，壬省聲，一曰水冥巠也’。說殊迂闊?！?/p>
可以認為，“巠”“經”應該是同一個字?！皫y”是早期的字，“經”則是中后期的字?！睹Α返摹罢貛y先王令”和《大盂鼎》的“敬雍德巠”，這兩處的“巠”都是指先人事而存在的綱紀的經綸，與章學誠所說的經的本義是完全相同的。在此基礎上，章學誠才提出了“六經皆史”的論斷。他反復強調，《六經》之所以是史，就是因為“《六經》皆先王得位行道，經緯世宙之跡，而非托于空言”，由此出發我們可以說“六經”皆史、“六經皆先王之政典”。章學誠還進一步指出: 古代根本就“無經史之別，六藝皆掌之史官”，而且《六經》是“先王之政典”的記錄之所以得到重視，只是因為“以其即三代之史耳”。
在這里，章學誠揭示了《六經》的根本性質，實際上是屬于經世致用的史籍。
《易教》篇所說的“《易》以天道而切人事”說明了天道而為人事的全部過程，《周易·系辭》又曰: “古者包犠氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地。觀鳥獸之紋，與地之宜。近取諸身遠取諸物。于是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情?！?/p>
至此，可以說《周易》屬于章學誠所說的六經之一道理充足?！段氖吠x·內篇·易教》對《周易》進行了詳細的論述，雖然其原意是旨在通過對《周易》的考證來厘清器與道的關系問題，但我們也可以由此推之，《周易》顯然是可以被當做史料加以對待的。章學誠意在通過《易》是先王之圣典也———六經先王之圣典也———六經皆史這樣的思想脈絡，理出文獻的通事理關系。其“六經皆史”的史學觀，旨在打通經、史、文之間的隔膜?？梢?，《易》經是史的觀點順理成章。
章太炎也曾認為，易經前十二卦講述的是人類文化發展的歷史，“《易經》也是史?！倍屑毧疾臁兑捉洝?，則可以認為它是一部殷周奴婢的起義史。同時，它也是古代人們了解天、地、風、火等自然現象及規律之史?？梢哉f，《周易》是和《左傳》《史記》一樣的史書，其反映的是我國先民從原始社會到殷周時期的全部史事?！扒?、坤兩卦是緒論，既濟、未濟兩卦是余論，自屯卦至離卦為草昧時代至殷末之史，自咸卦至小過卦為周初文、武、成時代之史?！?/p>
有學者解釋《易經》的“九”和“六”的概念，將卦爻辭、卦象與先秦古籍互證，將其看做是商周之交 8 年的改朝換代史。而《周易》與其他史籍的不同之處，就在于它以每隔 9 天或 6 天占卜一次的形式來記述商周之交的歷史大事，這也很好地解釋了《周易》既是一部筮辭編集同時又是一部古史這一特殊文化現象。
從“《周易》是史”的觀點來讀《周易》，將此與現代歷史發展的情況和時代潮流的大勢結合起來看，人們很自然地會把它和科學史結合起來進行研究。人類歷史上有古代科學史、近代科學史、現代科學史，既言《周易》是史，那么在中國，這種結合型的研究，不論就其內在或外在來講，都是應該的和必須的。以下，我們專門談《周易》與中國傳統數學史。
二、《周易》中彰顯著豐富的數學思想和數學方法
誠然，通過認真研究中國傳統數學史，并沒有看到從《周易》中直接得到某個數學定律、數學定理或經驗公式、數學定論。然而，人們特別是中國歷代著名數學家卻對《周易》情有獨鐘。在他們的數學活動及數學成果中，是高眼看待《周易》的。
通常認為: 中國傳統數學體系確立的標志是《九章算術》\\( 約公元 1 世紀\\) 的出現; 中國傳統數學理論體系確立的標志是“《九章算術》劉徽注”\\( 公元 263 年\\) 的出現。劉徽注《九章算術》時，開頭有個重要的“序”，這個序的首句是: “昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術，以合六爻之變?！?/p>
其中，如包犧氏、八卦、九九之術、六爻等，是緊緊地連著《周易》的。
中國傳統數學“算經十書”\\( 《周髀算經》《九章算術》《孫子算經》《五曹算經》《夏侯陽算經》《張丘建算經》《海島算經》《五經算術》《綴術》《緝古算經》\\) 中，最早的一部《周髀算經》說: “數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一?！币簿褪钦f，數的藝術是從圓形和方形開始的。正多邊形的極限，是由圓內接正多邊形經過無數次倍邊之后才形成的。木匠做工用的曲尺稱為矩，也就是方中的直角，方之所以出于矩，是因為非矩不能作?！斑@里已包含用數的性質來研究形的性質，將數與形緊密結合在一起進行考察的思想?！逼渲?，對九九之術格外重視?！熬爻鲇诰啪虐耸弧?，中國古人對乘法口訣的簡稱是“九九”，乘法口訣是從“九九八十一”而起的。中國傳統數學思想中所謂“九九”，最早是九九乘法口訣的稱謂?！兑住け久分芯陀小叭拧钡目谠E。
又如《周易》四十六卦《易·升》曰: “君子以慎德，積小以成高大?！睌祵W上，積乃眾數聚居之稱。有面積、體積等之稱。乘得之數曰積，如 2×2 =4 稱為積?！吨芤住分械姆e和數學中的積，思想同歸一脈。
中國傳統數學自秦漢確立體系之后，在三國兩晉南北朝一直到隋唐得到充實和提高，至宋元達到鼎盛時期，居于世界數學的最高峰。就在鼎盛時期最著名的數學四大家秦\\( 九韶\\) 、李\\( 冶\\) 、楊\\( 輝\\) 、朱\\( 世杰\\) 中，也無一不垂青《周易》。如秦九韶創立了具有世界意義的“大衍求一術”\\( 一次同余組\\) ，就是把數學方法同演卦結合起來，采用《易·系辭上》中的大衍之數五十，并將其命名為“大衍求一術”。
此命名說明秦九韶是受了《周易》“蓍卦發微”思想的影響，他認為圣賢已采用大衍之術，“圣有‘大衍’，微寓于易。奇余取策，群數皆捐。衍而究之，探隱知原”，“數與道非二本也”?！吨芤住は缔o》云: “大衍之術五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇于仂以象閏，五歲再閏，故再仂而后卦?！币簿褪钦f用來演算的蓍草的根數總數為 50，而大衍之術使用的蓍草則為 49 根，這是取“七七四十九”之意。秦九韶用現代數學語言表達“大衍總數術”:x ≡ ri\\( modi\\) ，\\( i = 1，2，3，4\\)據此可推出，元數: 1，2，3，4; 定數: 1，1，3，4; 衍數: 12，12，4，3; 奇數: 1，1，1，3; 乘率: 1，1，1，3; 用數: 12，12，4，9;各用數和: 12+12+4+9=37可得: 元數: 1，2，3，4; 衍數: 24，12，8，6; 用數: 12，24，4，9“大衍之數五十”即各衍數和: 24+12+8+6=50;“其用四十有九”即各用數和: 12+24+4+9=49。
由此，秦九韶將“大衍總數術”的算理與《周易》的哲理有機地結合起來\\( 他的“天意”說法不足取\\) ，從而圓滿地闡釋了筮法和“大衍之數五十，其用四十有九”的來由。
實際上，“蓍卦發微”有著不同凡響的意義?！凹词箯默F代的眼光來看，‘蓍卦發微’也并非毫無意義，它不僅以極簡單的數字，給出大衍術計算的一個范例，而且它還給人以這樣的啟示: 古老的《易經》可能蘊藏著豐富的、樸素的數學思想?！?/p>
楊輝是世界上最早對幻方\\( magic square\\) 進行系統研究的人①，他的《續古摘奇算法》\\( 1275\\) 中有各種類型的縱橫圖。我國最早的縱橫圖，應該屬宋代的九宮圖，這與易學中的“洛書”“九宮圖”緊緊相聯。楊輝孜孜不倦地探索縱橫圖的構成規律，揭示了縱橫圖的規律性。他認為三階和四階縱橫圖的構成方法是: “易換術曰: 以十六子依次第作四行排列，先以外四角對換……后以內四角對換?！睒藴士v橫圖則是從 1 開始，連續 n2個自然數組成 n 階縱橫圖。非標準型縱橫圖是不從 1 開始的以及對角線上的數字和不等于各行數字和的縱橫圖。楊輝對聚五圖、聚六圖、聚八圖、八圖陣、攢九圖、連環圖等奇異型縱橫圖也有研究，如他描述連環圖是“七十二子總積二千六百二十八，以八子為一隊，縱橫各二百九十二。多寡相資，鄰壁相兼，以九隊化一十三隊，此見運用之道”。
這里的道是道家之道，是指規律。圖 1 左邊為楊輝的聚八圖，即每個圓周上八個數的和皆為 100。右邊為攢九圖，即每條直徑上九個數的和皆為 147。楊輝的奇異型縱橫圖是多樣性和對稱性的結合，具有其他數學成果所沒有的直觀美感，這種體現數字內部規律的巧妙排列是具有一種守恒美的。宋代理學家們將縱橫圖與《周易》中的“河出圖，洛出書，圣人則之”聯系起來，認為九宮圖就是洛書，也就是伏羲畫八卦的依據。楊輝的縱橫圖對后世影響深遠，明清時期程大位、方中通、保其壽等的縱橫圖研究，都是建立在楊輝的研究基礎之上的。
朱世杰在多元高次方程組的解法上創立的“四元術”\\( 《四元玉鑒》，1303 年\\) ，“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，也是以“太”居中，用天、地、人、物四元來設未知數的，深深地打著易學的烙印?！吨芤住ふf卦》云: “昔者圣人之作《易》也，將以順性命之理。是以立天之道曰陰與陽，立地之道曰柔與剛，立人之道曰仁與義。兼三才而兩之，故《易》六畫而成卦?！?/p>
周易的天、地、人三才說對中國傳統數學天元術的產生是有影響的，而朱世杰的四元術正是天元術發展的最高峰。朱世杰稱一元方程為“一氣混元”，二元方程為“兩儀化元”，三元方程為“三才運元”，四次方程為“四象會元”。朱世杰創造了以“四元術”求解四元高次方程組的數值解法，由此成功地解決了高次方程組的建立和求解問題，其成就達到了宋元數學的最高水平?！兑捉洝吩谥袊鴤鹘y數學中的地位，是不能小視的。
我們的研究并無發現《易經》直接展示出某個數學定律、數學定理或經驗公式等數學內容，但它彰顯出的數學思想\\( 和方法\\) ，卻一直在中國傳統數學中發揮作用。數學思想\\( 和方法\\) 與數學內容本身是相連的，但數學思想和數學內容本身還是有不一樣的地方。所謂的數學思想，就是指數學產生和發展的思想依據和思想方法，也包括數學成果中所蘊含的思想精髓。
在中國傳統數學思想發展中的源和流，都深深地打著《周易》的烙印。中國傳統數學思想的起源，有學者將之梳理為結繩和書契、規矩和方圓、九九之術、河圖洛書、算籌籌算等，其中，《周易》的影響和作用是顯而易見的，如河圖洛書、九九之術、規矩等都是有力的說明。而在以后的數學思想發展歷程中，如上述我們所提到的從劉徽及《九章算術》劉徽注，到秦九韶及《數書九章》的大衍求一術等等，我們可以深刻地體會到《周易》對中國傳統數學思想\\( 和方法\\) 具有深刻的影響。
三、傳承《周易》中彰顯的數學思想
對中華文化的傳承和創新，是時代賦予我們的光榮使命。當今人們在探求《周易》的哲理方面成就斐然，值得肯定。然而探求《周易》的數理，成就則不多。實際上，《周易》中彰顯\\( 或蘊含\\) 的數學思想\\( 和方法\\) ，內容十分豐富。我們以“河圖洛書說”為例加以闡述。
河圖洛書是我國古代儒家關于《周易》和《洪范》兩書來源的傳說?！兑住は缔o上》曰: “是故天生神物，圣人則之; 天地變化，圣人效之; 天垂象，見吉兇，圣人象之; 河出圖，洛出書，圣人則之?！?/p>
《易緯·乾鑿度》也云: “太乙取其數以行九宮，四正四維皆合于十五?！编嵭⒃? “春秋緯云: 河以通乾出天苞，洛以流坤吐地符，河龍圖發，洛龜書感，《河圖》有九篇，《洛書》有六篇也?！睂嶋H上，鄭玄在這里構造了一個天地生成數圖和九宮圖。他認為《系辭傳》中的“天數五”是指 1、3、5、7、9 這五個奇數，而“地數五”則指的是 2、4、6、8、10 這五個偶數。將這些奇數和偶數“五位相得而各有合”，按方位配合后即可構成“天地生成之數”。
傳說《周易》的來源就是伏羲根據龍馬從黃河背負來的“河圖”和神龜從洛水背負而來的“洛書”所完成的?！熬艑m”一詞，見于漢徐岳《數術記遺》: “九宮算，五行參數，猶如循環?！薄熬艑m”者，是東漢以前易緯家之說將離、艮、兌、乾、巽、震、坤、坎八卦加中央而合的。九宮實則一個三行縱橫圖，即世界上最古老的幻方。上文所述楊輝的幻方研究工作，就是起源于對“河圖”“洛書”的數字化處理。楊輝所列的 20 個縱橫圖中，最簡單的兩個就是河圖洛書。楊輝給洛書的口訣是: “九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出?！?/p>
該口訣清楚地闡述了洛書“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三階縱橫圖的構造方法，從而揭開了其神秘的面紗。以下是楊輝總結出的洛書幻方構造圖\\( 圖 2\\) 。
幻方實際上蘊育了我國組合數學思想，是古代數學智慧的一個標志，是數學文化中的一朵奇葩，對它的研究也算是中算史上的一種驕傲。
河圖洛書是從陰陽、五行、八卦發展而來并將它們內在地包容起來的，河圖洛書雖說是傳說，但它在中國歷史上常年\\( 多年\\) 流傳下來并被人們作為思想發展影響著社會這是真實的歷史現象。
中國歷代哲學家們研究河圖洛書的哲理，而歷代疇人\\( 天文、算學家\\) 則陳述河圖洛書的天文、數學之意蘊，故《周易》之數理的意義和作用是回避不了的事實。到了大儒朱熹手中，可以說這個工作有了一個本質性的飛躍和進展。朱熹在他的重要著作《周易本義》之首，就列出河圖洛書，以九\\( 九宮\\) 為河圖，以十\\( 天地生成數\\) 為洛書\\( 其實際起源于道士陳摶\\) 。這九個易圖是: 河圖、洛書、伏羲八卦次序、伏羲八卦方位、伏羲六十四卦次序、伏羲六十四卦方位、文王八卦次序、文王八卦方位和卦變圖。實際上，朱熹在自然科學上也有許多貢獻，其河圖洛書說深刻地支配著他的理學自然觀。宋代丁易東研究縱橫圖也受河洛起源的影響，他在《大衍索隱》卷中云: “洛書四十九得大衍五十數圖”，卷下亦云: “九宮八卦綜成七十二數合洛書圖?！泵鞔跷乃匾舱J為“數之本原”是河圖洛書，他在《通證古今算學寶鑒》\\( 1524\\) 卷首就列出了朱熹《周易本義》所載的河圖圖和洛書圖。明代程大位在其珠算名著《算法統宗》\\( 1592\\) 卷首中也曾畫出龍馬負圖、河圖圖和洛書圖。他在《算法統宗·后識語》中還強調: “數何肇? 其肇自圖、書乎? 伏羲得之以畫卦，大禹得之以序疇，列圣得之以開物成務。凡天官、地員、律歷、兵賦及纖悉杪忽，莫不有數，則莫不本于《易》《范》。故今推明直指算法，輒揭河圖、洛書于首，見數有原本云?！?/p>
因《算法統宗》是本流傳極廣的珠算著作，河圖、洛書為數之本源的思想也日益深入人心。清代《數理精蘊》\\( 1723\\) 上編卷一曰: “河出圖，洛出書，八卦是生，九疇是序，數學亦于是乎肇焉?！庇纱丝梢?，在中國傳統數學思想中，數之河洛起源說影響不小。而《周易》中就有對河圖洛書的記載，其對中國傳統數學思想的影響同樣值得重視。
至于數學上河洛起源說的原因，應該是由于人類將認識自然的能力歸之于天意。中國古人在數學研究中，發現得到的數學規律\\( 包括數字規律\\) 無法在客觀世界中找到恰當的、正確的解釋\\( 或模型、原型\\) 時，他們就將之歸于天意。而宋明儒家對此則更感興趣，正如蔡沈\\( 朱熹的學生\\) 所說:“體天地之撰者《易》之象; 紀天地之撰者《范》之數。數者始于一; 象者成于二。一者，奇，二者，偶也。奇者，數之所以行; 偶者，象之所以立。故二而四，四而八，八者，八卦之象也。一而三，三而九，九者九疇之數也。由是，重之八而六十四，六十四而四千九十六而象備也; 九而八十一，八十一而六千五百六十一而數周矣?！兑住犯氖ザ笠阎? 《范》錫神禹而數不傳。后之作者昧象數之源，窒變通之妙，或即象而為數，或反數而擬象，……牽合附會，自然之數益晦蝕焉?！?/p>
究其原因，宋明理學家們本就認定“理”先天地而存在，而河洛起源說恰恰是對他們理論的有力支持?？梢哉f，數學源于“河圖”“洛書”是宋明理學思想在數學中的反映，同時它又是“格物窮理”之學的縮影。
綜上所述，從古人對《周易》河圖洛書之哲理和數理結合起來研究的綜合考察，我們發現，人們對河圖洛書的健康研究，并不是為了搞數字神秘主義，而是以《周易》中所蘊含和體現的數字及數字變化規律，來探索和揭示自然界的奧秘。其研究路徑是正確的，應當引起重視，必須深入加以研究。我們明顯地感覺到，從朱熹開始，中國傳統文化及對傳統文化的研究，可以說在這里出現了微妙的轉型，必須引起學界的注意和重視?！緢D略】
