本篇論文目錄導航：
【題目】中學數學教育中數學美的價值探究
【第一章】我國中學數學教育美學問題研究緒論
【2.1】美學與數學美
【2.2】數學美在中學數學教育中的作用
【2.3】數學美對學生素質的影響
【2.4】深化數學美的探究，全面推進素質教育
【3.1 】中學數學教育中的審美教育
【3.2】審美教育的意義
【3.3】數學美在中學數學教學中的滲透
【3.4】數學美融入中學數學教學中
【3.5】教師是影響學生對中學數學美感受的關鍵因素
【3.6】感受美，欣賞美的渠道
【參考文獻】數學美與中學數學教育的結合研究參考文獻
第二章數學美在中學數學教育中的作用。
2.1美學與數學美。
2.1.1美學的概念。
1美是人類創造性實踐活動的產物。所謂的數學美，是指利用審美的觀念對數學的一種哲學研究。四〕美存在于文學，藝術中，社會生活中，我們稱之為藝術美還有一種存在自然科學中的理論美，其內涵包括邏輯美，結構美和公式美，我們稱之為科學美。數學美隸屬于科學美，具有一般語言文學和藝術所共有的美的特點。數學在其內容結構上和方法上也具有自身的某種美，也稱之為數學美。數學不但具有嚴密的邏輯性和一定的抽象性，同時也擁有至高無尚的美，美是數學的靈魂。數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。
數學中美的因素處處可見，無論數學中的公式，還是含義無不體現著數學的美。無論把數學比作詩歌，還是樂章，都是在說數學的美。所謂數學美的含義是豐富多彩的，如數學體系的完善，數學結構系統的協調，普遍性，數學概念的簡潔而精確，數學定理的概括，數學公式的簡潔，完整，數學思維的獨特性和奇異性，數學圖形的和諧性，對稱性，數學方法的奇妙性等，都是數學美的表現形式。
2.1.2數學美學的產生與發展。
美學是一門古老的科學，社會的進步就是人類對美的追求的結晶。人類對于數學美的追求以及關于數學美的觀念等，隨著人類早期數學的出現就出現了。同樣人類對數學美學的研究，也早在古代的時候就開始了。數學美的產生與發展的，經歷了以下三個時期：
1.數學美的朦朧時期。
數學是一門抽象化，以邏輯推理為主的，有組織的、獨立的學科，在很早的時遠古時代，數學就己有了開端和萌芽。我們稱之為早期數學。在那時，數學就已經伴隨著一種朦朧而神秘之美了[11].早期時候，人們識數能力有一定的限制，差不多是不超過頭十個的數，被認為是被神秘的氣氛包圍著，因而都具有神秘的色彩。
翻開古代四大文明古國的歷史，就可以看到在這些文明古國的早期數學中，呈現出來一種朦朧而又神秘的美。在我國古代，太極八卦中，就已展示出數學的美。圓有無數條對稱軸，是一切平面圖形中最美的圖形。而太極圖的發明被認為那時的人對圓所呈現的美就已經有了初步的認識。相傳由伏羲，文王所作的《周易》一書中，就己經有了陰陽奇偶的說法，即把奇數定為陽，那么偶數則為陰。同時在我國的童話中，又把奇數象征白、晝、夜、熱、日、火、天偶數象征黑、夜、冷、物、水、地。
巴比倫人在公元前2000到1600年就已經感受到幾何圖形的美，巴比倫人已掌握直角三角形、長方形和等腰三角形等簡單平面圖形的面積，還有一些簡單立體圖形如長方體及特殊梯形為底的直棱柱等圖形的體積的方法。巴比倫人對圓的圖形上顯示出來的對稱美，和諧美感受更深，表現為他們知道直徑的三倍為圓周，把圓周分成等分，圓周平方的1/12為圓的面積等等。
埃及人的數學并不比巴比倫數學高明，總的來說，他們的數學是簡單而粗淺的。被稱為“最偉大的埃及金字塔”的莫斯科紙草書的第個問題中的數值例題是埃及凡何學中最了不起的例子，因為它用具體數學寫出的表達式呈現出對稱美。無論埃及還是巴比倫，他們都認為數學本身有神秘的特征，并可以預卜未來，對自然界和人類社會中的現象作神秘解釋。印度的數學和宗教、占星術有密切聯系，帶有深厚的宗教氣味，公元前6世紀創造出一些原始數字。
綜上所述，可以看出數學在早期時代就呈現了朦朧美，想要進一步發掘早期數學中的美，還需要我們進一步的研究。
2.數學美的萌芽時期。
古典數學時期，人們開始關注數學與美學的關系，是數學美的萌芽時期，這個時期的數學是屬于常量、初等的數學范疇。在這個時期，人們開始注意到了數學與美學之間的關系，并對這種關系進行了有意識地探索與論述，促使了數學與美學關系的發展。之所以稱它是數學美的萌芽時期，有二個原因第一，這一時期的數學美學思想仍明顯的帶有朦朧時期那種神秘主義的色彩。在古代，美學思想通常都以哲學論述的形式出現，而古代的科學和藝術是統屬于哲學之中的，因而，很難把數學中的美學思想與哲學思想截然分開。人類進入文明時代之后，一直試圖尋找各種自然現象的統一本原。對此，各古代民族幾乎一致認為，世界存在著一個統一的本原。無論是東方還是西方，在古典數學的時期中，數學的美學因素，有形無形中仍與神學糾合在一起，蒙上了一層神秘的色彩。這正反映出數學美剛破土萌芽，顯得幼弱而嬌嫩，只有借助于神學的力量才能生存。
第二，這一時期的數學美的表現形式還是低層次的，外層次的，主要是表現數學理論，圖形之中關系的定理和公式所呈現出來的形態美。古希臘的畢達哥拉斯學派的美學理論是西方古代美學的開端，認為美與事物形式所表現出來的均衡，對稱，比例，和諧，多樣統一分不開。認為美完全可以用嚴格的數來加以表達，數學的本原就是萬物的本原。這大概是數學與美學之間的關系的最早的論述。畢達哥拉斯有句名言，凡是美的東西都具有一個共同的特征，這就是部分與部分之間，以及整體之間固有的協調一致。畢達哥拉斯學派把均衡與對稱作為按照數學的秩序所構成的形式之一，視之為一種美。均衡是事物各部分、諸元素在數量關系上大致相等，分布勻稱，有著一種合理的數量關系，因而能生成和諧之美。
在古典數學時期，無論是東方還是西方所表現出來的數學美主要是數學語言美以及以均衡、勻稱、對稱、比例、和諧等為特征的數學形態美。但僅僅都是外層次的、低層次的，很少涉及到數學的內在層次美。
3.數學美的發展時期。
數學的發展有賴于社會環境，17世紀的政治、經濟和社會的發展，給予了數學巨大的推動。我們稱世變量數學、高等數學的這一時期的數學為現代數學川。數學美的思想不在以畢達哥拉斯的以猜想為主，已經超越了那一階段，進入到數學的理論體系的階段。在那個時期，經典數學達到了數學形態美的發展高峰，繼續向數學在內在結構美，數學邏輯美方向發展。
20世紀50年代以來，隨著科學在分化與綜合這兩方面的迅速發展，一些傳統美學思想開始有所突破?？刂普?、信息論、系統論的出現，為數學美學的發展開辟了新的廣闊領域。模糊數學和突變數學的興起，為數學美找到了新的起點。譬如數學中既有漸變之美，也存在突變之美，既有精確性的美，也有不精確的美。此外，科學語言與藝術語言的有機結合，抽象美感與美感直覺的相輔相成，邏輯思維與形象思維的相互補充，以及數學中真、善、美的統一問題，必將成為我們研究數學美學的新課。這些問題的解決，將會極大的豐富數學創造和數學美學的內容。
2.1.3數學美的分類及特征。
數學發展的歷史處處閃耀著數學美。事實上，數學研究與數學美的聯系源遠流長，對數學美的探索已歷時數千年[14].數學美是社會屬性與物質屬性的有機統一，其社會性構成了數學美內容方面的因素。其物質化構成了數學美形式方面的因素。因此，我們可以從內容與形式兩方面對數學美進行分類，并分析其基本特征。
1.數學美的分類。
隨著歷史和科技的發展，數學美也隨之變化和發展。但數學美的內容和基本特征卻有它們的相對穩定性。數學美的內容和特征，就是數學家們所重視的理論和方法的優美。根據理論與方法這兩個方面，我們將數學美分為結構美，語言美和方法美。數學結構美是一種內在的美，特別是在數學解題中存在很多結構美，通常表現為數學元素的完備整齊，式子結構的對稱有序。數學結構美來自于各部分的和諧秩序。正是這種內在美給了滿足我們感官的一個美麗的骨架，使我們面對一個秩序井然的整體，能夠預見數學定理。
數學語言作為一種表達科學思想的通用語言和數學思維的最佳載體，它有一整套數學符號系統。數學符號系統有三個很大的優點確切性、經濟性和通用性。數學相比起其他的學科來說，具有更完美的語言形式，它能夠突破各民族語言的隔閡而成為全人類共同的統一的表述工具。對于全世界各民族的人來說，只要具備了一定的數學素養，對于同樣的一個數學符號公式，大家都可以確切的理解它的復雜涵義。因此，可以說數學語言，以它的簡潔、概括、富于形象化、理想化的特征和形式，給人們以美的感受。簡潔和諧、有序就是數學語言美的基本特征。
2.數學美的特征。
數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學特有的抽象概念，公式符號，推理論證都體現了數學美。數學方法的簡潔性，典型性，和奇異性能給人們美的感受。無論從數學美的內容，還是從數學美的形式方面來講，數學美的特征都表現為簡潔性，統一性，對稱性，整齊性，奇異性與思辨性這幾方面。
（1）數學美的簡潔性。
簡潔性是數學形態美的基本內容。愛因斯坦說過“美，本質上終究是簡單性?！彼J為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。[15]最簡潔的數學理論最能給人以美的享受。數學美的簡潔性，不是人為的簡單規定，它刻畫出大自然的內在屬性。數學美的簡潔性，并不是指數學內容本身的簡潔而主要表現在邏輯結構，表達式的簡潔。
數學理論的迷人之處在于能用簡潔的方式和優美的方法對大量的彼此毫無聯系的個別情況加以描述，并進行分類，揭示現實世界中的量及其關系的規律。如果一個數學理論本身的結構就很繁瑣或累贅，人們都難以看下去，何談用這個理論解決問題。
舉幾個數學中最簡單的應用簡潔性的例子，代數運算中乘法與冪的運算，就是加法與乘法的簡化又如，出于對計算運算中簡潔性之考慮，才導致了對數運算方法的產生。另一個典型的例子便是二進制的建立。二進制的產生是從邏輯關系的簡潔性考慮的，并由此而導致了電子計算機的出現。
簡潔性也是眾多數學家追求的目標。當我們談到一些數學大師們對簡潔美的追求時，首先想到的是大數學家高斯。1817年3月，高斯把尋求一種最美和最簡潔的二次互反律的證明過程，當成他研究的主要動力。萊布尼茨創立微積分時，引進簡潔而方便的微分與積分的符號，獲得數學界的普遍接受羨慕沿用至今。著名的數學家傅里葉說過，每一個函數，無論多么復雜，總可以表示為某些簡單的基本的函數之和。他在創立“傅里葉級數”時，也進行了簡潔性的考慮。
教師在數學教學中，如果能從簡潔的角度出發，審視問題的結構，分析問題的特點，轉化思考的方向，常?？梢垣@得簡潔明快的效果。
例如甲、乙、丙、丁4人互相傳球，由甲開始發球，并作為第一次傳球，經過4次傳球后，球仍回到甲的手中，有多少種不同的傳球方法。這樣的題可以通過畫樹形圖的方法得到答案，但我們更注重等價轉化。用甲-乙表示“甲”把球傳給“乙”,則甲-丁-甲-丙-甲，甲-乙-丁-丙-甲都是滿足條件的一種傳球方式。若用1, 2, 3, 4分別代替甲、乙、丙、丁，把“甲-丁-甲-丙-甲”看成是1, 2, 3, 4排在5個不同的位置上，它等價于用1, 2, 3, 4四個數字組成5位數，要求個位、首位只能排數字1,且任意相鄰兩位數字不相同，這樣的5位數有多少個？此時，千位有3種排法，若百位排1,則十位有3種排法，此時有3×3=9種排法；若百位不排1,則有2種排法，則十位仍有2種排法，此時有3×2×2=12種，共有9+12=21種排法。
這是應用型的題型，它雖然沒有考查太多的數學知識，如果沒有想到一種簡潔的方法去分析問題，初步接觸時可能會使我們束手無策，但用字母或者對應相關的元素就把它化成我們熟悉的更為簡單的問題，不失去本質，又令人心曠神怡?？傊?，數學的簡潔性對數學發展具有極其重要的作用。
（2）統一性。
一切客觀事物都是相互聯系的，處在對立統一的矛盾之中，大自然是統一和諧的整體，反映客觀事物的數學作為描述大自然的一種語言，必然也是和諧而統一的。數學的統一性正體現了數學知識的部分與部分，部分與整體之間的內在聯系和共同規律所呈現的和諧一致性。數學中一些表面看來不相同的概念，定理，法則，在一定的條件下處于一個統一體中。許多不同類型的問題可以用統一的思想方法來解決。統一性是數學家追求的目標之一。從解析幾何，微積分的誕生到近代數學的許多重大成果都體現出數學的統一性。例如，在微積分中的定積分，二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分，實質上都是一類特殊和式的極限，從極限理論的高度得以統一。
任何一個學過微積分的人都知道牛頓一萊布尼茨公式，，它將不同的數學概念統一于一個公式，極大的展現了數學微積分這一數學分支內部的統一性。這個公式兩邊是不同的概念，公式左邊是定積分，它是黎曼和的極限，實質是曲邊梯形的面積。而另一端是原函數在積分上下限的差，也是導數的逆運算。
這兩邊居然可以用等號連接起來，展現了微積分，定積分與不定積分幾大運算之間強大的聯系，把三者統一于一個公式中，充分體現了數學的統一性。
在講課過程中，把解析幾何與線性代數聯系起來，對知識的理解也有很大的幫助，可以使學生對知識了解得更深、更透。如果把解析幾何中的三個平面與代數中的三元一次方程組對應起來講解幾何中三個平面的有唯一交點對應用于代數中三元一次方程組的唯一的解。三個平面有唯一交點的條件是三個平面的三個法向量不共面，它對應用于代數中的三元一次方程組的系數行列式不為。這個講解過程中體現了數學和統一性，展現了數學的和諧美。
運算、變換、函數分別是代數、幾何、分析這三個數學分支中的重要概念，但在集合論中，便可統一于映射的概念。數學研究就是從對立統一到新的對立，再到新的統一，螺旋式的上升，不斷創新，與時俱進。給我們一種欲窮千里目，更上一層樓的感覺。我們認識了數學中的統一性，就能捕捉住數學中的美點，因此統一性也就成為數學研究的重要方向。
（3）對稱性。
對稱性被認為是數學美的一個內容，是數學美的又一表現形式，它給人們一種圓滿的勻稱的美感與感受，其實質是數學中對立統一的概念、運算、命題、圖形等在結構與形式方面的體現。對稱性是組成某種事物或對象的兩個部分的對等性。許多初中同學說，數實在是枯燥無味，計算起來不僅繁瑣雜亂，還無聊至極。但事實上，數是在“數學百花園”中最奇妙魔幻的花。我們來看這樣一組數據：132=169, 312=961;1132=12769, 3112=96721;11132=1238769,31112=9678321……同樣的數還有一串，如122 = 144, 212 = 441, 1122= 12544, 2112 = 44521……至今誰也不知道有多少這類的對稱的數。還有一種數自身存在著對稱，叫做回文數。99×19= 1881,999×19=18981,9999 × 19=189981, 99999× 19=1899981,99×91=9009, 99×28=2772, 99×82=8118……古希臘畢達哥拉斯學派主張：萬物最基本的元素是數，數的和諧就是美。數通過運算讓我們感受到簡單、整齊、對稱、和諧的組合美，令人神往。
著名德國數學家和物理學家魏爾也說過，美和對稱緊密相連。數學中的對稱性，不僅是一種思想，同時也是一種方法，表現為運用對稱的思想來解決問題。使人們對數學的認識提升到另一個更高的層次。在二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分的學習中，如果能巧妙的運用對稱性，能達到計算過程簡捷的目的。例如，求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍成立體的體積。我們就可以利用對稱性，只要求出在第一卦限部分的體積，然后再乘以即得所求的體積。再比如，Ω∈R3,Ω是球心到原點，半徑為的球體。計算三重積分，如果將這個問題直接計算，相當的繁瑣，幾但如果運算對稱性計算，則非常容易的：
這里Ω1為球體在第一卦限的部分，此處就運用了對稱性。數學的對稱美無處不在，互逆運算也可以看成是對稱關系。
除法是乘法的逆運算，指數與對數互為逆運算，因式分解與整式的乘法互為逆運算，這些都可以看成是對稱的關系。
（4）奇異性。
奇異性是數學美的另一個重要的特征，也是數學發現中的重要美學因素。任何一個極美的東西都在調和中包含著某種奇異性。奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。
數學家看到一些奇異的結果時，如，處處連續不可微的函數等，與看到極其珍奇的藝術品一樣震顫。數學領域中一些新概念的產生，都是來自于對奇異美的追求。舉一個典型的例子，在1777年的某天，蒲豐邀請了許多朋友做了一個奇怪的試驗。他在桌上鋪了一張畫好一條條等距離平行線的白紙，然后拿出一些質量均勻，長度相等且為平行線間距離一半的小針，讓朋友們把這些針隨便的扔在白紙上，他在一旁作記錄。試驗結束后，統計結果一共投了2212次，其中與任一平行線相交有704次。蒲豐發現，投的次數2212約是704的3.142倍，這個近似值是圓周率的近似值，他還說，這個值會隨著投的次數的增多，結果越精確，會越來越接近圓周率。這種計算二的方法充分顯示了數學方法的奇異美。
康托集也是一個奇異美的例子，集有許多奇異的性質，它是一個無處稠密集，即在任意一個實區間中都包含一個沒有集合的元素的子空間。
數學美還具有客觀實在性，它是隨著人類數學實踐活動的發展產生的，具體表現在主體在數學活動中審美心理和所創造的成果中。審美的基礎是實踐，主體產生審美感覺和人化了的自然界是分不開的。也就是說，人類在實踐過程中，一方面，主體的感覺相應地被人化而產生審美感覺，同時，外部自然界被人化而成為美的對象。從人類歷史發展來看，主體的審美感覺和客觀世界的癥狀，是人類改造世界的實踐成果在主體和客體，內在和外在兩個方面的表現。數學美正像雕刻的美，它沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，是一種冷而嚴肅的美。這里肯定了數學美的存在性，數學是真和美的統一。數學并不是唯美的追求美，或者說數學美并不是人為的，而是在邏輯的真假判斷與實踐的價值判斷的統一中追求美。數學美的內容具有音樂，文學作品所具有的那種實在，不是物理世界的實在。從文化傳統上看，數學美的實在性更明顯。一方面人類文化傳統對數學的發展產生極大的影響，人們出生在某種環境中，這種環境制約著他們接受某種特定的數學系統。另一方面，數學也積極的影響著人類文化的發展。例如，古希臘數學中的點、線、面、數，都是對現實的理想化和抽象，它們在文化中也留下了深深的烙印。從哲學，建筑，文學作品和雕刻藝術中，都可以看到數學美的這種實在性。
【題目】中學數學教育中數學美的價值探究
【第一章】我國中學數學教育美學問題研究緒論
【2.1】美學與數學美
【2.2】數學美在中學數學教育中的作用
【2.3】數學美對學生素質的影響
【2.4】深化數學美的探究，全面推進素質教育
【3.1 】中學數學教育中的審美教育
【3.2】審美教育的意義
【3.3】數學美在中學數學教學中的滲透
【3.4】數學美融入中學數學教學中
【3.5】教師是影響學生對中學數學美感受的關鍵因素
【3.6】感受美，欣賞美的渠道
【參考文獻】數學美與中學數學教育的結合研究參考文獻
第二章數學美在中學數學教育中的作用。
2.1美學與數學美。
2.1.1美學的概念。
1美是人類創造性實踐活動的產物。所謂的數學美，是指利用審美的觀念對數學的一種哲學研究。四〕美存在于文學，藝術中，社會生活中，我們稱之為藝術美還有一種存在自然科學中的理論美，其內涵包括邏輯美，結構美和公式美，我們稱之為科學美。數學美隸屬于科學美，具有一般語言文學和藝術所共有的美的特點。數學在其內容結構上和方法上也具有自身的某種美，也稱之為數學美。數學不但具有嚴密的邏輯性和一定的抽象性，同時也擁有至高無尚的美，美是數學的靈魂。數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。
數學中美的因素處處可見，無論數學中的公式，還是含義無不體現著數學的美。無論把數學比作詩歌，還是樂章，都是在說數學的美。所謂數學美的含義是豐富多彩的，如數學體系的完善，數學結構系統的協調，普遍性，數學概念的簡潔而精確，數學定理的概括，數學公式的簡潔，完整，數學思維的獨特性和奇異性，數學圖形的和諧性，對稱性，數學方法的奇妙性等，都是數學美的表現形式。
2.1.2數學美學的產生與發展。
美學是一門古老的科學，社會的進步就是人類對美的追求的結晶。人類對于數學美的追求以及關于數學美的觀念等，隨著人類早期數學的出現就出現了。同樣人類對數學美學的研究，也早在古代的時候就開始了。數學美的產生與發展的，經歷了以下三個時期：
1.數學美的朦朧時期。
數學是一門抽象化，以邏輯推理為主的，有組織的、獨立的學科，在很早的時遠古時代，數學就己有了開端和萌芽。我們稱之為早期數學。在那時，數學就已經伴隨著一種朦朧而神秘之美了[11].早期時候，人們識數能力有一定的限制，差不多是不超過頭十個的數，被認為是被神秘的氣氛包圍著，因而都具有神秘的色彩。
翻開古代四大文明古國的歷史，就可以看到在這些文明古國的早期數學中，呈現出來一種朦朧而又神秘的美。在我國古代，太極八卦中，就已展示出數學的美。圓有無數條對稱軸，是一切平面圖形中最美的圖形。而太極圖的發明被認為那時的人對圓所呈現的美就已經有了初步的認識。相傳由伏羲，文王所作的《周易》一書中，就己經有了陰陽奇偶的說法，即把奇數定為陽，那么偶數則為陰。同時在我國的童話中，又把奇數象征白、晝、夜、熱、日、火、天偶數象征黑、夜、冷、物、水、地。
巴比倫人在公元前2000到1600年就已經感受到幾何圖形的美，巴比倫人已掌握直角三角形、長方形和等腰三角形等簡單平面圖形的面積，還有一些簡單立體圖形如長方體及特殊梯形為底的直棱柱等圖形的體積的方法。巴比倫人對圓的圖形上顯示出來的對稱美，和諧美感受更深，表現為他們知道直徑的三倍為圓周，把圓周分成等分，圓周平方的1/12為圓的面積等等。
埃及人的數學并不比巴比倫數學高明，總的來說，他們的數學是簡單而粗淺的。被稱為“最偉大的埃及金字塔”的莫斯科紙草書的第個問題中的數值例題是埃及凡何學中最了不起的例子，因為它用具體數學寫出的表達式呈現出對稱美。無論埃及還是巴比倫，他們都認為數學本身有神秘的特征，并可以預卜未來，對自然界和人類社會中的現象作神秘解釋。印度的數學和宗教、占星術有密切聯系，帶有深厚的宗教氣味，公元前6世紀創造出一些原始數字。
綜上所述，可以看出數學在早期時代就呈現了朦朧美，想要進一步發掘早期數學中的美，還需要我們進一步的研究。
2.數學美的萌芽時期。
古典數學時期，人們開始關注數學與美學的關系，是數學美的萌芽時期，這個時期的數學是屬于常量、初等的數學范疇。在這個時期，人們開始注意到了數學與美學之間的關系，并對這種關系進行了有意識地探索與論述，促使了數學與美學關系的發展。之所以稱它是數學美的萌芽時期，有二個原因第一，這一時期的數學美學思想仍明顯的帶有朦朧時期那種神秘主義的色彩。在古代，美學思想通常都以哲學論述的形式出現，而古代的科學和藝術是統屬于哲學之中的，因而，很難把數學中的美學思想與哲學思想截然分開。人類進入文明時代之后，一直試圖尋找各種自然現象的統一本原。對此，各古代民族幾乎一致認為，世界存在著一個統一的本原。無論是東方還是西方，在古典數學的時期中，數學的美學因素，有形無形中仍與神學糾合在一起，蒙上了一層神秘的色彩。這正反映出數學美剛破土萌芽，顯得幼弱而嬌嫩，只有借助于神學的力量才能生存。
第二，這一時期的數學美的表現形式還是低層次的，外層次的，主要是表現數學理論，圖形之中關系的定理和公式所呈現出來的形態美。古希臘的畢達哥拉斯學派的美學理論是西方古代美學的開端，認為美與事物形式所表現出來的均衡，對稱，比例，和諧，多樣統一分不開。認為美完全可以用嚴格的數來加以表達，數學的本原就是萬物的本原。這大概是數學與美學之間的關系的最早的論述。畢達哥拉斯有句名言，凡是美的東西都具有一個共同的特征，這就是部分與部分之間，以及整體之間固有的協調一致。畢達哥拉斯學派把均衡與對稱作為按照數學的秩序所構成的形式之一，視之為一種美。均衡是事物各部分、諸元素在數量關系上大致相等，分布勻稱，有著一種合理的數量關系，因而能生成和諧之美。
在古典數學時期，無論是東方還是西方所表現出來的數學美主要是數學語言美以及以均衡、勻稱、對稱、比例、和諧等為特征的數學形態美。但僅僅都是外層次的、低層次的，很少涉及到數學的內在層次美。
3.數學美的發展時期。
數學的發展有賴于社會環境，17世紀的政治、經濟和社會的發展，給予了數學巨大的推動。我們稱世變量數學、高等數學的這一時期的數學為現代數學川。數學美的思想不在以畢達哥拉斯的以猜想為主，已經超越了那一階段，進入到數學的理論體系的階段。在那個時期，經典數學達到了數學形態美的發展高峰，繼續向數學在內在結構美，數學邏輯美方向發展。
20世紀50年代以來，隨著科學在分化與綜合這兩方面的迅速發展，一些傳統美學思想開始有所突破?？刂普?、信息論、系統論的出現，為數學美學的發展開辟了新的廣闊領域。模糊數學和突變數學的興起，為數學美找到了新的起點。譬如數學中既有漸變之美，也存在突變之美，既有精確性的美，也有不精確的美。此外，科學語言與藝術語言的有機結合，抽象美感與美感直覺的相輔相成，邏輯思維與形象思維的相互補充，以及數學中真、善、美的統一問題，必將成為我們研究數學美學的新課。這些問題的解決，將會極大的豐富數學創造和數學美學的內容。
2.1.3數學美的分類及特征。
數學發展的歷史處處閃耀著數學美。事實上，數學研究與數學美的聯系源遠流長，對數學美的探索已歷時數千年[14].數學美是社會屬性與物質屬性的有機統一，其社會性構成了數學美內容方面的因素。其物質化構成了數學美形式方面的因素。因此，我們可以從內容與形式兩方面對數學美進行分類，并分析其基本特征。
1.數學美的分類。
隨著歷史和科技的發展，數學美也隨之變化和發展。但數學美的內容和基本特征卻有它們的相對穩定性。數學美的內容和特征，就是數學家們所重視的理論和方法的優美。根據理論與方法這兩個方面，我們將數學美分為結構美，語言美和方法美。數學結構美是一種內在的美，特別是在數學解題中存在很多結構美，通常表現為數學元素的完備整齊，式子結構的對稱有序。數學結構美來自于各部分的和諧秩序。正是這種內在美給了滿足我們感官的一個美麗的骨架，使我們面對一個秩序井然的整體，能夠預見數學定理。
數學語言作為一種表達科學思想的通用語言和數學思維的最佳載體，它有一整套數學符號系統。數學符號系統有三個很大的優點確切性、經濟性和通用性。數學相比起其他的學科來說，具有更完美的語言形式，它能夠突破各民族語言的隔閡而成為全人類共同的統一的表述工具。對于全世界各民族的人來說，只要具備了一定的數學素養，對于同樣的一個數學符號公式，大家都可以確切的理解它的復雜涵義。因此，可以說數學語言，以它的簡潔、概括、富于形象化、理想化的特征和形式，給人們以美的感受。簡潔和諧、有序就是數學語言美的基本特征。
2.數學美的特征。
數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學特有的抽象概念，公式符號，推理論證都體現了數學美。數學方法的簡潔性，典型性，和奇異性能給人們美的感受。無論從數學美的內容，還是從數學美的形式方面來講，數學美的特征都表現為簡潔性，統一性，對稱性，整齊性，奇異性與思辨性這幾方面。
（1）數學美的簡潔性。
簡潔性是數學形態美的基本內容。愛因斯坦說過“美，本質上終究是簡單性?！彼J為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。[15]最簡潔的數學理論最能給人以美的享受。數學美的簡潔性，不是人為的簡單規定，它刻畫出大自然的內在屬性。數學美的簡潔性，并不是指數學內容本身的簡潔而主要表現在邏輯結構，表達式的簡潔。
數學理論的迷人之處在于能用簡潔的方式和優美的方法對大量的彼此毫無聯系的個別情況加以描述，并進行分類，揭示現實世界中的量及其關系的規律。如果一個數學理論本身的結構就很繁瑣或累贅，人們都難以看下去，何談用這個理論解決問題。
舉幾個數學中最簡單的應用簡潔性的例子，代數運算中乘法與冪的運算，就是加法與乘法的簡化又如，出于對計算運算中簡潔性之考慮，才導致了對數運算方法的產生。另一個典型的例子便是二進制的建立。二進制的產生是從邏輯關系的簡潔性考慮的，并由此而導致了電子計算機的出現。
簡潔性也是眾多數學家追求的目標。當我們談到一些數學大師們對簡潔美的追求時，首先想到的是大數學家高斯。1817年3月，高斯把尋求一種最美和最簡潔的二次互反律的證明過程，當成他研究的主要動力。萊布尼茨創立微積分時，引進簡潔而方便的微分與積分的符號，獲得數學界的普遍接受羨慕沿用至今。著名的數學家傅里葉說過，每一個函數，無論多么復雜，總可以表示為某些簡單的基本的函數之和。他在創立“傅里葉級數”時，也進行了簡潔性的考慮。
教師在數學教學中，如果能從簡潔的角度出發，審視問題的結構，分析問題的特點，轉化思考的方向，常?？梢垣@得簡潔明快的效果。
例如甲、乙、丙、丁4人互相傳球，由甲開始發球，并作為第一次傳球，經過4次傳球后，球仍回到甲的手中，有多少種不同的傳球方法。這樣的題可以通過畫樹形圖的方法得到答案，但我們更注重等價轉化。用甲-乙表示“甲”把球傳給“乙”,則甲-丁-甲-丙-甲，甲-乙-丁-丙-甲都是滿足條件的一種傳球方式。若用1, 2, 3, 4分別代替甲、乙、丙、丁，把“甲-丁-甲-丙-甲”看成是1, 2, 3, 4排在5個不同的位置上，它等價于用1, 2, 3, 4四個數字組成5位數，要求個位、首位只能排數字1,且任意相鄰兩位數字不相同，這樣的5位數有多少個？此時，千位有3種排法，若百位排1,則十位有3種排法，此時有3×3=9種排法；若百位不排1,則有2種排法，則十位仍有2種排法，此時有3×2×2=12種，共有9+12=21種排法。
這是應用型的題型，它雖然沒有考查太多的數學知識，如果沒有想到一種簡潔的方法去分析問題，初步接觸時可能會使我們束手無策，但用字母或者對應相關的元素就把它化成我們熟悉的更為簡單的問題，不失去本質，又令人心曠神怡?？傊?，數學的簡潔性對數學發展具有極其重要的作用。
（2）統一性。
一切客觀事物都是相互聯系的，處在對立統一的矛盾之中，大自然是統一和諧的整體，反映客觀事物的數學作為描述大自然的一種語言，必然也是和諧而統一的。數學的統一性正體現了數學知識的部分與部分，部分與整體之間的內在聯系和共同規律所呈現的和諧一致性。數學中一些表面看來不相同的概念，定理，法則，在一定的條件下處于一個統一體中。許多不同類型的問題可以用統一的思想方法來解決。統一性是數學家追求的目標之一。從解析幾何，微積分的誕生到近代數學的許多重大成果都體現出數學的統一性。例如，在微積分中的定積分，二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分，實質上都是一類特殊和式的極限，從極限理論的高度得以統一。
任何一個學過微積分的人都知道牛頓一萊布尼茨公式，，它將不同的數學概念統一于一個公式，極大的展現了數學微積分這一數學分支內部的統一性。這個公式兩邊是不同的概念，公式左邊是定積分，它是黎曼和的極限，實質是曲邊梯形的面積。而另一端是原函數在積分上下限的差，也是導數的逆運算。
這兩邊居然可以用等號連接起來，展現了微積分，定積分與不定積分幾大運算之間強大的聯系，把三者統一于一個公式中，充分體現了數學的統一性。
在講課過程中，把解析幾何與線性代數聯系起來，對知識的理解也有很大的幫助，可以使學生對知識了解得更深、更透。如果把解析幾何中的三個平面與代數中的三元一次方程組對應起來講解幾何中三個平面的有唯一交點對應用于代數中三元一次方程組的唯一的解。三個平面有唯一交點的條件是三個平面的三個法向量不共面，它對應用于代數中的三元一次方程組的系數行列式不為。這個講解過程中體現了數學和統一性，展現了數學的和諧美。
運算、變換、函數分別是代數、幾何、分析這三個數學分支中的重要概念，但在集合論中，便可統一于映射的概念。數學研究就是從對立統一到新的對立，再到新的統一，螺旋式的上升，不斷創新，與時俱進。給我們一種欲窮千里目，更上一層樓的感覺。我們認識了數學中的統一性，就能捕捉住數學中的美點，因此統一性也就成為數學研究的重要方向。
（3）對稱性。
對稱性被認為是數學美的一個內容，是數學美的又一表現形式，它給人們一種圓滿的勻稱的美感與感受，其實質是數學中對立統一的概念、運算、命題、圖形等在結構與形式方面的體現。對稱性是組成某種事物或對象的兩個部分的對等性。許多初中同學說，數實在是枯燥無味，計算起來不僅繁瑣雜亂，還無聊至極。但事實上，數是在“數學百花園”中最奇妙魔幻的花。我們來看這樣一組數據：132=169, 312=961;1132=12769, 3112=96721;11132=1238769,31112=9678321……同樣的數還有一串，如122 = 144, 212 = 441, 1122= 12544, 2112 = 44521……至今誰也不知道有多少這類的對稱的數。還有一種數自身存在著對稱，叫做回文數。99×19= 1881,999×19=18981,9999 × 19=189981, 99999× 19=1899981,99×91=9009, 99×28=2772, 99×82=8118……古希臘畢達哥拉斯學派主張：萬物最基本的元素是數，數的和諧就是美。數通過運算讓我們感受到簡單、整齊、對稱、和諧的組合美，令人神往。
著名德國數學家和物理學家魏爾也說過，美和對稱緊密相連。數學中的對稱性，不僅是一種思想，同時也是一種方法，表現為運用對稱的思想來解決問題。使人們對數學的認識提升到另一個更高的層次。在二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分的學習中，如果能巧妙的運用對稱性，能達到計算過程簡捷的目的。例如，求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍成立體的體積。我們就可以利用對稱性，只要求出在第一卦限部分的體積，然后再乘以即得所求的體積。再比如，Ω∈R3,Ω是球心到原點，半徑為的球體。計算三重積分，如果將這個問題直接計算，相當的繁瑣，幾但如果運算對稱性計算，則非常容易的：
這里Ω1為球體在第一卦限的部分，此處就運用了對稱性。數學的對稱美無處不在，互逆運算也可以看成是對稱關系。
除法是乘法的逆運算，指數與對數互為逆運算，因式分解與整式的乘法互為逆運算，這些都可以看成是對稱的關系。
（4）奇異性。
奇異性是數學美的另一個重要的特征，也是數學發現中的重要美學因素。任何一個極美的東西都在調和中包含著某種奇異性。奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。
數學家看到一些奇異的結果時，如，處處連續不可微的函數等，與看到極其珍奇的藝術品一樣震顫。數學領域中一些新概念的產生，都是來自于對奇異美的追求。舉一個典型的例子，在1777年的某天，蒲豐邀請了許多朋友做了一個奇怪的試驗。他在桌上鋪了一張畫好一條條等距離平行線的白紙，然后拿出一些質量均勻，長度相等且為平行線間距離一半的小針，讓朋友們把這些針隨便的扔在白紙上，他在一旁作記錄。試驗結束后，統計結果一共投了2212次，其中與任一平行線相交有704次。蒲豐發現，投的次數2212約是704的3.142倍，這個近似值是圓周率的近似值，他還說，這個值會隨著投的次數的增多，結果越精確，會越來越接近圓周率。這種計算二的方法充分顯示了數學方法的奇異美。
康托集也是一個奇異美的例子，集有許多奇異的性質，它是一個無處稠密集，即在任意一個實區間中都包含一個沒有集合的元素的子空間。
數學美還具有客觀實在性，它是隨著人類數學實踐活動的發展產生的，具體表現在主體在數學活動中審美心理和所創造的成果中。審美的基礎是實踐，主體產生審美感覺和人化了的自然界是分不開的。也就是說，人類在實踐過程中，一方面，主體的感覺相應地被人化而產生審美感覺，同時，外部自然界被人化而成為美的對象。從人類歷史發展來看，主體的審美感覺和客觀世界的癥狀，是人類改造世界的實踐成果在主體和客體，內在和外在兩個方面的表現。數學美正像雕刻的美，它沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，是一種冷而嚴肅的美。這里肯定了數學美的存在性，數學是真和美的統一。數學并不是唯美的追求美，或者說數學美并不是人為的，而是在邏輯的真假判斷與實踐的價值判斷的統一中追求美。數學美的內容具有音樂，文學作品所具有的那種實在，不是物理世界的實在。從文化傳統上看，數學美的實在性更明顯。一方面人類文化傳統對數學的發展產生極大的影響，人們出生在某種環境中，這種環境制約著他們接受某種特定的數學系統。另一方面，數學也積極的影響著人類文化的發展。例如，古希臘數學中的點、線、面、數，都是對現實的理想化和抽象，它們在文化中也留下了深深的烙印。從哲學，建筑，文學作品和雕刻藝術中，都可以看到數學美的這種實在性。
